الملخصات الشاملة — القسم الكمي

الفصل الأول: الحساب والأعداد

خواص الأعداد · القواسم والمضاعفات · الكسور · النسبة والتناسب · النسبة المئوية

01

1. خواص الأعداد: الزوجي والفردي

الأعداد الصحيحة تنقسم إلى قسمين: زوجية (Even) وهي التي تقبل القسمة على 2 (مثل: 0, 2, 4, 6, 8, 10...)، وفردية (Odd) وهي التي لا تقبل القسمة على 2 (مثل: 1, 3, 5, 7, 9, 11...).

القواعد الأساسية للجمع والطرح والضرب:

العملية	النتيجة	مثال
زوجي + زوجي	زوجي	4 + 6 = 10 ✓
زوجي + فردي	فردي	4 + 5 = 9 ✓
فردي + فردي	زوجي	3 + 7 = 10 ✓
زوجي × زوجي	زوجي	4 × 6 = 24 ✓
زوجي × فردي	زوجي	4 × 5 = 20 ✓
فردي × فردي	فردي	3 × 5 = 15 ✓

!

قاعدة ذهبية الطرح يتبع نفس قاعدة الجمع: زوجي − فردي = فردي، وفردي − فردي = زوجي. أما في الضرب فيكفي أن يكون أحد العددين زوجياً لتكون النتيجة زوجية.

2. الأعداد الأولية (Prime Numbers)

العدد الأولي هو العدد الطبيعي الأكبر من 1 الذي لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى 1. أي لا يمكن كتابته كحاصل ضرب عددين أصغر منه.

أول الأعداد الأولية: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 ...

★

ملاحظة مهمة جداً العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد. جميع الأعداد الأولية الأخرى فردية. كما أن العددين 0 و 1 ليسا أوليين.

★ مثال محلول

هل العدد 91 أولي؟

الحل: 91 = 7 × 13، إذن 91 ليس أولياً رغم أنه يبدو كذلك.
91 ÷ 7 = 13 → 7 × 13 = 91

الإجابة: ليس أولي ✔

تحليل العدد إلى عوامل أولية: نُقسّم العدد على أصغر عدد أولي يقبل القسمة حتى نصل إلى 1.

تحليل أولي

60 = 2² × 3 × 5 | 84 = 2² × 3 × 7

3. قواعد القسمة (Divisibility Rules)

قواعد سريعة لمعرفة هل العدد يقبل القسمة على عدد آخر دون إجراء القسمة:

العدد	قاعدة القسمة	مثال
2	الرقم الأخير زوجي (0,2,4,6,8)	356 ✓ (ينتهي بـ 6)
3	مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3	123: 1+2+3=6 ✓
4	الرقمان الأخيران يقبلان القسمة على 4	1316: 16÷4=4 ✓
5	ينتهي بـ 0 أو 5	875 ✓
6	يقبل القسمة على 2 وعلى 3 معاً	72: زوجي و7+2=9 ✓
9	مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9	486: 4+8+6=18 ✓
10	ينتهي بـ 0	450 ✓

⚠

تنبيه لا توجد قاعدة بسيطة للقسمة على 7. للحصول عليها أجرِ القسمة مباشرة، أو استخدم قاعدة: اضرب الرقم الأخير في 2، اطرح من باقي العدد، فإن الناتج من مضاعفات 7 كان العدد يقبل القسمة على 7. مثال: 343 → 34 − (2×3)=28 → 28 من مضاعفات 7 ✓

4. القواسم والمضاعفات — GCF و LCM

القاسم (Factor): عدد يقسم العدد الآخر بدون باقٍ. قواسم العدد 12 هي: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

المضاعف (Multiple): حاصل ضرب العدد في عدد صحيح. مضاعفات 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30...

العامل المشترك الأكبر GCF

GCF(a, b) = أكبر قاسم مشترك

المضاعف المشترك الأصغر LCM

LCM(a, b) = أصغر مضاعف مشترك

★ مثال محلول

أوجد GCF و LCM للعددين 12 و 18.

التحليل الأولي:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
GCF: نأخذ الأس الأصغر لكل عامل مشترك: 2¹ × 3¹ = 6
LCM: نأخذ الأس الأكبر لكل عامل: 2² × 3² = 4 × 9 = 36

GCF = 6 ، LCM = 36 ✔

★

علاقة ذهبية GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b تحقق: 6 × 36 = 216 = 12 × 18 ✓

5. الكسور (Fractions)

الكسر يتكون من بسط (numerator) ومقام (denominator). الكسر المتكافئ له نفس القيمة: ½ = 2/4 = 3/6.

عمليات الكسور

a/b + c/d = (a·d + b·c) / (b·d)

a/b × c/d = (a·c) / (b·d)

a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a·d) / (b·c)

★ مثال محلول

احسب: ⅔ + ¾ − ½

المقام المشترك الأصغر للكسور = 12:
⅔ = 8/12 ¾ = 9/12 ½ = 6/12
العملية: 8/12 + 9/12 − 6/12 = (8+9−6)/12 = 11/12

الإجابة: 11/12 ✔

!

تذكر عند قسمة الكسور، اعكس الكسر الثاني واضرب. مثلاً: ⅗ ÷ ½ = ⅗ × 2/1 = 6/5.

6. النسبة والتناسب (Ratio & Proportion)

النسبة (Ratio) هي مقارنة بين مقدارين بنفس الوحدة، مثل 3:2. التناسب (Proportion) هو تساوٍ بين نسبتين، مثل a/b = c/d.

التناسب

a : b = c : d ⇒ a × d = b × c

★ مثال محلول

إذا كانت نسبة أعمار ثلاثة إخوة 2 : 3 : 4 ومجموع أعمارهم 270 سنة، فما عمر كل منهم؟

مجموع أجزاء النسبة: 2 + 3 + 4 = 9 أجزاء
قيمة الجزء الواحد: 270 ÷ 9 = 30 سنة
الأعمار:
الأول: 2 × 30 = 60 الثاني: 3 × 30 = 90 الثالث: 4 × 30 = 120

الأعمار: 60 ، 90 ، 120 سنة ✔

7. النسبة المئوية (Percentage)

النسبة المئوية هي كسر مقامه 100. ترمز لها بالرمز %.

قاعدة أساسية

p% من x = (p ÷ 100) × x

النسبة المئوية للتغير

نسبة التغير = (القيمة الجديدة − القيمة القديمة) ÷ القيمة القديمة × 100%

★ مثال محلول

إذا كان راتب موظف 8000 ريال، وزاد بنسبة 15%، ثم نقص 10% من الراتب الجديد. ما الراتب النهائي؟

الزيادة الأولى: 8000 × 0.15 = 1200 → الراتب الجديد = 9200 ريال
النقص الثاني: 9200 × 0.10 = 920 → الراتب النهائي = 9200 − 920 = 8280 ريال
ملاحظة: لا يمكن جمع النسبتين (15%−10%=5%) لأنهما تُطبقان على أساسين مختلفين.

الراتب النهائي: 8280 ريال ✔

⚠

فخ شائع زيادة 20% ثم نقص 20% لا تعود إلى القيمة الأصلية. مثال: 100 → +20% → 120 → −20% → 96 (وليس 100).

8. الأعداد الموجبة والسالبة والقيمة المطلقة

الأعداد الموجبة أكبر من الصفر، والسالبة أصغر من الصفر. الصفر ليس موجباً ولا سالباً.

قواعد الإشارات

(+) × (+) = (+) | (−) × (−) = (+)

(+) × (−) = (−) | (−) × (+) = (−)

القيمة المطلقة

|x| = x إذا كان x ≥ 0 ، و |x| = −x إذا كان x < 0

|x| ≥ 0 دائماً | |3| = 3 و |−3| = 3

★ مثال محلول

احسب: −5 + (−3) × 4 − |−7|

إجراء الضرب أولاً: (−3) × 4 = −12
القيمة المطلقة: |−7| = 7
الجمع: −5 + (−12) − 7 = −5 − 12 − 7 = −24

الإجابة: −24 ✔

ورقة المراجعة — الفصل 1

زوجي ± زوجي= زوجي

فردي ± فردي= زوجي

زوجي ± فردي= فردي

فردي × فردي= فردي

أي عدد × زوجي= زوجي

2أولي زوجي وحيد

القسمة على 3مجموع الأرقام ÷ 3

القسمة على 9مجموع الأرقام ÷ 9

القسمة على 4آخر رقمان ÷ 4

GCF × LCM= a × b

قسمة الكسوراعكس الثاني واضرب

p% من x= (p/100) × x

% التغير=(جديد−قديم)/قديم×100

(−) × (−)= (+)

|x|≥ 0 دائماً

الفصل الثاني: الجبر

المعادلات الخطية · المتباينات · الدوال · المتتاليات · الأسس والجذور

02

1. المعادلات الخطية (Linear Equations)

المعادلة الخطية في مجهول واحد على الصورة: ax + b = c. نحلها بعزل المجهول x في طرف، والأعداد في الطرف الآخر.

!

قاعدة النقل عند نقل حد من طرف إلى آخر في المعادلة، يتغير إشارته. مثلاً نقل +5 يصير −5، ونقل ×3 يصير ÷3.

★ مثال محلول

حل المعادلة: 3x − 7 = 2x + 5

نقل المجهولات لطرف والأعداد لطرف آخر:
3x − 2x = 5 + 7
x = 12

x = 12 ✔

★ مثال محلول — مع أقواس

حل: 2(x + 3) − 5 = 3(x − 1)

فتح الأقواس: 2x + 6 − 5 = 3x − 3
التبسيط: 2x + 1 = 3x − 3
النقل: 1 + 3 = 3x − 2x
x = 4

x = 4 ✔

2. المتباينات (Inequalities)

المتباينة تعبر عن علاقة أكبر أو أصغر بدل المساواة. الرموز: > (أكبر)، < (أصغر)، ≥ (أكبر أو يساوي)، ≤ (أصغر أو يساوي).

⚠

قاعدة حرجة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب في المتباينة، تُعكس إشارة المتباينة. مثلاً: −2x > 6 ⇔ x < −3.

★ مثال محلول

حل المتباينة: −3(x − 2) ≤ 2x + 1

فتح القوس: −3x + 6 ≤ 2x + 1
النقل: 6 − 1 ≤ 2x + 3x ⇒ 5 ≤ 5x
القسمة على 5 (موجب فلا عكس): 1 ≤ x ⇔ x ≥ 1

x ≥ 1 ✔

3. الدوال (Functions)

الدالة هي علاقة تربط كل عنصر في مجموعة (المجال) بعنصر واحد على الأكثر في المجموعة الأخرى. تُكتب: f(x) = ...

المجال (Domain): جميع قيم x التي تجعل الدالة معرفة. مثلاً في f(x) = 1/x لا يمكن أن يكون x = 0.

★ مثال محلول

إذا كانت f(x) = 2x² − 3x + 1، أوجد f(−2).

التعويض: f(−2) = 2(−2)² − 3(−2) + 1
= 2(4) + 6 + 1
= 8 + 6 + 1 = 15

f(−2) = 15 ✔

4. القيمة المطلقة ومعادلاتها

معادلة القيمة المطلقة على الصورة |x| = a يكون لها حلان: x = a أو x = −a (بشرط a ≥ 0).

★ مثال محلول

حل: |2x − 5| = 7

الحالة الأولى: 2x − 5 = 7 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6
الحالة الثانية: 2x − 5 = −7 ⇒ 2x = −2 ⇒ x = −1

الحل: x = 6 أو x = −1 ✔

5. المتتاليات الحسابية (Arithmetic Sequences)

المتتالية الحسابية هي متتالية يكون الفرق بين كل حد والذي يليه ثابتاً يسمى الحد المشترك d، ويتم إضافته.

الحد النوني

aₙ = a₁ + (n − 1) × d

مجم أول n حداً

Sₙ = (n ÷ 2) × (a₁ + aₙ)

★ مثال محلول

متتالية حسابية حدها الأول 5 وحدّها المشترك 3. أوجد الحد العاشر ومجم أول 10 حدود.

الحد العاشر: a₁₀ = 5 + (10 − 1) × 3 = 5 + 27 = 32
المجموع: S₁₀ = (10 ÷ 2) × (5 + 32) = 5 × 37 = 185

a₁₀ = 32 ، S₁₀ = 185 ✔

6. المتتاليات الهندسية (Geometric Sequences)

المتتالية الهندسية هي متتالية يكون النسبة بين كل حد والذي يسبقه ثابتة تسمى النسبة المشتركة r، ويتم ضربها (وليس إضافتها).

الحد النوني

aₙ = a₁ × r^(n − 1)

★ مثال محلول

متتالية هندسية حدها الأول 3 ونسبتها المشتركة 2. أوجد الحد الخامس.

التعويض: a₅ = 3 × 2^(5−1) = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48

a₅ = 48 ✔

★

كيف نميّز بينهما؟ إذا كان الفرق جمع/طرح ثابت → حسابية. إذا كانت النسبة ضرب/قسمة ثابتة → هندسية.

7. الزوجي والفردي في الجبر

يمكننا تمثيل الأعداد جبرياً: العدد الزوجي = 2k، والعدد الفردي = 2k + 1 (حيث k عدد صحيح).

هويات مهمة

x² ≥ 0 دائماً (لأي x حقيقي)

(زوجي)² = زوجي | (فردي)² = فردي

(2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = فردي

!

قاعدة مفيدة مربع أي عدد صحيح يكون موجباً دائماً (مثلاً 2² = 4، 3² = 9، (−5)² = 25). و(x−1)(x−2) ≥ 0 عندما x ≤ 1 أو x ≥ 2.

8. الأسس والجذور (Exponents & Roots)

الأس هو عدد يدل على تكرار الضرب. مثلاً: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.

قوانين الأسس

xᵃ × xᵇ = x^(a+b)

xᵃ ÷ xᵇ = x^(a−b)

(xᵃ)ᵇ = x^(a×b)

x⁰ = 1 (لكل x ≠ 0)

x⁻ᵃ = 1 ÷ xᵃ

(x × y)ᵃ = xᵃ × yᵃ

قوانين الجذور

√(x × y) = √x × √y

√(x ÷ y) = √x ÷ √y

√x² = |x|

ⁿ√xᵐ = x^(m/n)

★ مثال محلول

بسّط: (2x³y⁻²)² ÷ (4x²y⁻⁴)

رفع البسط للأس 2: (2x³y⁻²)² = 4x⁶y⁻⁴
القسمة: 4x⁶y⁻⁴ ÷ 4x²y⁻⁴ = x^(6−2) × y^(−4−(−4)) = x⁴ × y⁰ = x⁴

الإجابة: x⁴ ✔

ورقة المراجعة — الفصل 2

ax + b = cمعادلة خطية

النقل عبر =تتغير الإشارة

الضرب ÷ سالبتعكس إشارة المتباينة

|x| = ax = ±a (a ≥ 0)

متتالية حسابيةaₙ = a₁ + (n−1)d

مجموع حسابيةSₙ = n/2 (a₁ + aₙ)

متتالية هندسيةaₙ = a₁ × r^(n−1)

زوجي= 2k

فردي= 2k + 1

x²≥ 0 دائماً

xᵃ × xᵇ= x^(a+b)

xᵃ ÷ xᵇ= x^(a−b)

(xᵃ)ᵇ= x^(ab)

x⁰= 1 (x ≠ 0)

x⁻ᵃ= 1/xᵃ

الفصل الثالث: الهندسة

الزوايا · المثلثات · فيثاغورس · الدوائر · المضلعات · المساحات والمحيط

03

1. الزوايا (Angles)

الزاوية هي المسافة الدورانية بين نصفي مستقيمين يلتقيان في نقطة. تقاس بالدرجات (°).

النوع	المقياس	مثال
حادة (Acute)	أقل من 90°	45°
قائمة (Right)	تساوي 90°	90°
منفرجة (Obtuse)	بين 90° و 180°	120°
مستقيمة (Straight)	تساوي 180°	180°
كاملة (Reflex/Full)	360°	360°

علاقات الزوايا

زاويتان متتامتان ⇔ مجموعهما = 90°

زاويتان متكاملتان ⇔ مجموعهما = 180°

الزاويتان المتقابلتان بالرأس ⇔ متساويتان

★ مثال محلول

زاوية تزيد عن متممها بمقدار 30°. أوجد قياسها.

لتكن الزاوية x، فمتممها = 90 − x.
x − (90 − x) = 30
2x − 90 = 30 → 2x = 120 → x = 60°

الزاوية = 60° ✔ (ومتممها 30°)

2. المثلثات (Triangles)

قاعدة ذهبية

مجموع زوايا المثلث = 180°

أنواع المثلث حسب الأضلاع:

متساوي الأضلاع (Equilateral): الثلاثة أضلاع متساوية، والزوايا الثلاث كلها 60°.
متساوي الساقين (Isosceles): ضلعان متساويان، والزاويتان المقابلتان لهما متساويتان.
مختلف الأضلاع (Scalene): الثلاثة أضلاع مختلفة.

أنواع المثلث حسب الزوايا:

حاد الزوايا: كل زواياه أقل من 90°.
قائم الزاوية: زاوية واحدة = 90°.
منفرج الزاوية: زاوية واحدة أكبر من 90°.

★ مثال محلول

في مثلث زواياه 2x، 3x، 4x. أوجد قياس أكبر زاوية.

مجموع الزوايا = 180°:
2x + 3x + 4x = 180 → 9x = 180 → x = 20
الزوايا: 40°, 60°, 80° → أكبرها = 80°

أكبر زاوية = 80° ✔

3. نظرية فيثاغورس (Pythagorean Theorem)

في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

نظرية فيثاغورس

a² + b² = c²

حيث c هو الوتر (أطول ضلع، المقابل للزاوية القائمة)

⚠

تنبيه نظرية فيثاغورس تُطبق فقط على المثلث القائم الزاوية. لا تُستخدم في المثلث الحاد أو المنفرج.

★ مثال محلول

مثلث قائم الزاوية ضلعاه القائمان 6 و 8. أوجد طول الوتر.

التطبيق: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10

الوتر = 10 ✔ (الثلاثية 6, 8, 10 شهيرة)

★

ثلاثيات فيثاغورس شهيرة (3, 4, 5) • (5, 12, 13) • (6, 8, 10) • (8, 15, 17) • (7, 24, 25)

4. مساحة المثلث

مساحة المثلث

المساحة = ½ × القاعدة × الارتفاع

★ مثال محلول

مثلث قاعدته 14 سم وارتفاعه 9 سم. أوجد مساحته.

A = ½ × 14 × 9 = 7 × 9 = 63

المساحة = 63 سم² ✔

5. الدائرة (Circle)

قوانين الدائرة

المحيط = 2πr = πd

المساحة = πr²

حيث r نصف القطر، d القطر = 2r

★

قيمة π التقريبية π ≈ 3.14 أو 22/7 (≈ 3.1428). استخدم 22/7 عندما يكون r من مضاعفات 7 لتسهيل الحساب.

★ مثال محلول

دائرة نصف قطرها 7 سم. أوجد محيطها ومساحتها (استخدم π = 22/7).

المحيط: 2 × (22/7) × 7 = 2 × 22 = 44 سم
المساحة: (22/7) × 7² = (22/7) × 49 = 22 × 7 = 154 سم²

المحيط = 44 سم ، المساحة = 154 سم² ✔

6. المضلعات (Polygons)

مجموع زوايا مضلع n أضلاع

المجموع = (n − 2) × 180°

كل زاوية في مضلع منتظم

الزاوية = (n − 2) × 180° ÷ n

المضلع	عدد الأضلاع	مجموع الزوايا
مثلث	3	180°
رباعي	4	360°
خماسي	5	540°
سداسي	6	720°
ثماني	8	1080°

★ مثال محلول

كم ضلعاً لمضلع منتظم إذا كانت كل زاوية فيه = 144°؟

التطبيق: (n − 2) × 180 ÷ n = 144
180(n − 2) = 144n
180n − 360 = 144n → 36n = 360 → n = 10

عدد الأضلاع = 10 (مضلع عشري) ✔

7. الرباعيات: المساحات والمحيط

الشكل	المساحة	المحيط
مربع (ضلع a)	a²	4a
مستطيل (طول L، عرض W)	L × W	2(L + W)
متوازي الأضلاع (قاعدة b، ارتفاع h)	b × h	2(a + b)
معين (قطران d₁, d₂)	½ × d₁ × d₂	4 × ضلع
شبه منحرف (قاعدتان b₁, b₂، ارتفاع h)	½ × (b₁ + b₂) × h	مجموع الأضلاع

★ مثال محلول

شبه منحرف قاعدتاه 10 و 6 وارتفاعه 5. أوجد مساحته.

A = ½ × (10 + 6) × 5 = ½ × 16 × 5 = 8 × 5 = 40

المساحة = 40 وحدة² ✔

8. التشابه والتطابق

التطابق (Congruence): شكلان متطابقان إذا تساوت جميع أضلاعهما وزواياهما (نفس الحجم والشكل).

التشابه (Similarity): شكلان متشابهان إذا تساوت زواياهما وتناسبت أضلاعهما بنفس النسبة. نسبة المساحات = مربع نسبة التشابه.

قاعدة التشابه

إذا كانت نسبة التشابه = k

⇒ نسبة المساحات = k²

⇒ نسبة الحجوم = k³

★ مثال محلول

مثلثان متشابهان نسبة أضلاعهما 3:5. إذا كانت مساحة الأصغر 36، فما مساحة الأكبر؟

نسبة المساحات = مربع نسبة الأضلاع = (3/5)² = 9/25
المساحة الكبرى = 36 × (25/9) = 4 × 25 = 100

المساحة الكبرى = 100 وحدة² ✔

ورقة المراجعة — الفصل 3

مجموع زوايا مثلث= 180°

متتامتانمجموعهما 90°

متكاملتانمجموعهما 180°

متقابلتان بالرأسمتساويتان

فيثاغورسa² + b² = c² (قائم)

مساحة مثلث½ × قاعدة × ارتفاع

محيط دائرة2πr = πd

مساحة دائرةπr²

π≈ 3.14 أو 22/7

مجموع زوايا n-gon(n−2) × 180°

زاوية n-gon منتظم(n−2) × 180° / n

مساحة مربعa²

مساحة مستطيلL × W

مساحة معين½ × d₁ × d₂

مساحة شبه منحرف½ × (b₁+b₂) × h

تشابه — مساحاتk²

الفصل الرابع: الإحصاء والاحتمالات

المتوسط · الوسيط · المنوال · المدى · الاحتمالات · التباديل والتوافيق

04

1. مقاييس النزعة المركزية

المتوسط الحسابي (Mean)

المتوسط = (مجموع القيم) ÷ (عدد القيم)

الوسيط (Median)

القيمة الوسطى بعد ترتيب البيانات تصاعدياً

إذا كان عدد القيم زوجياً ⇒ الوسيط = متوسط القيمتين الوسطيتين

المنوال (Mode)

القيمة الأكثر تكراراً (قد يكون أكثر من منوال أو لا يوجد)

★ مثال محلول

أوجد المتوسط والوسيط والمنوال للبيانات: 4, 7, 9, 7, 12, 6, 7

المتوسط: (4+7+9+7+12+6+7) ÷ 7 = 52 ÷ 7 ≈ 7.43
الترتيب: 4, 6, 7, 7, 7, 9, 12 → القيمة الوسطى (الرابعة) = 7
المنوال: 7 (تكرر 3 مرات)

المتوسط ≈ 7.43 ، الوسيط = 7 ، المنوال = 7 ✔

★ مثال محلول — وسيط لعدد زوجي

أوجد الوسيط للبيانات: 3, 8, 5, 10, 1, 7

الترتيب: 1, 3, 5, 7, 8, 10 → القيمتان الوسطيتان 5 و 7
الوسيط = (5 + 7) ÷ 2 = 6

الوسيط = 6 ✔

2. المدى (Range)

المدى

المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة

للبيانات في المثال السابق: المدى = 12 − 4 = 8.

3. الاحتمالات (Probability)

الاحتمال لحدث ما هو نسبة عدد النواتج المواتية له إلى عدد النواتج الكلية الممكنة.

قاعدة الاحتمال

P(E) = (عدد النواتج المواتية) ÷ (عدد النواتج الكلية)

0 ≤ P(E) ≤ 1 دائماً

!

قاعدة في مسائل الوراثة والأحياء عند حل أي مسألة تتعلق بالوراثة أو الصفات الوراثية، استخدم دائماً كلمة "احتمال" بدل "نسبة". مثلاً: "احتمال ظهور الصفة السائدة = 3/4".

★ مثال محلول

كيس به 5 كرات حمراء و 3 زرقاء و 2 خضراء. ما احتمال سحب كرة زرقاء؟

عدد الكرات الكلي: 5 + 3 + 2 = 10
عدد الكرات الزرقاء (المواتية): 3
P(زرقاء) = 3/10 = 0.3 = 30%

احتمال الكرة الزرقاء = 3/10 = 0.3 ✔

★ مثال محلول — وراثة

في تزاوج بين فردين هجينين لصفة (Aa × Aa)، ما احتمال ظهور الصفة المتنحية في النسل؟

نسبة الانعزال: AA : Aa : Aa : aa → 1 : 2 : 1
الصفة المتنحية تظهر بالتركيب aa: احتمال واحد من 4
احتمال ظهور الصفة المتنحية = 1/4 = 25%

احتمال ظهور الصفة المتنحية = 1/4 = 25% ✔

4. الشجرة الاحتمالية والاحتمال الشرطي

الشجرة الاحتمالية: رسم يبيّن جميع النواتج الممكنة لتجربة عشوائية، ويسهل حساب الاحتمالات المركبة.

قاعدة الاحتمال الشرطي

P(A | B) = P(A و B) ÷ P(B)

أي: احتمال A بشرط حدوث B

للحوادث المستقلة: P(A و B) = P(A) × P(B).

★ مثال محلول

قطعة نقد متوازنة رُميت مرتين. ما احتمال ظهور كتابة في المرتين؟

احتمال الكتابة في كل رمي = ½
الرميان مستقلان: P(كتابة ثم كتابة) = ½ × ½ = ¼

الاحتمال = 1/4 = 0.25 ✔

5. التباديل والتوافيق

التباديل (Permutations): اختيار عناصر مع مراعاة الترتيب.

التباديل

P(n, r) = n! ÷ (n − r)!

التوافيق (Combinations): اختيار عناصر دون مراعاة الترتيب.

التوافيق

C(n, r) = n! ÷ [r! × (n − r)!]

حيث n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 1 (مثلاً 5! = 120 و 0! = 1).

★ مثال محلول — تباديل

كم طريقة لترتيب 3 أشخاص في 5 كراسي؟

الترتيب مهم: P(5, 3) = 5! / (5−3)! = 5! / 2! = (120) / (2) = 60

عدد الطرق = 60 طريقة ✔

★ مثال محلول — توافيق

كم طريقة لاختيار فريق من 3 طلاب من مجموعة 5؟

الترتيب غير مهم: C(5, 3) = 5! / (3! × 2!) = 120 / (6 × 2) = 120 / 12 = 10

عدد الطرق = 10 طرق ✔

★

قاعدة ذهبية C(n, r) = C(n, n−r). مثلاً C(10, 3) = C(10, 7) = 120.

6. قراءة البيانات والرسوم البيانية

الرسم البياني العمودي (Bar Graph): يقارن بين فئات مختلفة بأعمدة.
الرسم الخطي (Line Graph): يبيّن التغير عبر الزمن.
الرسم الدائري (Pie Chart): يبيّن نسب كل فئة من المجمل. كل درجة = 1% من الدائرة (360° تمثل 100%).

!

تذكر في الرسم الدائري لإيجاد زاوية فئة: (نسبة الفئة ÷ 100) × 360°. ولتجميع قيمة من نسبة: (النسبة ÷ 100) × المجموع.

ورقة المراجعة — الفصل 4

المتوسط= المجموع ÷ العدد

الوسيطالقيمة الوسطى مرتبة

وسيط زوجيمتوسط القيمتين الوسطيتين

المنوالالأكثر تكراراً

المدىالأكبر − الأصغر

P(E)مواتية ÷ كلية

مجال P0 ≤ P ≤ 1

وراثةاستخدم "احتمال"

أحداث مستقلةP(A∩B) = P(A)×P(B)

احتمال شرطيP(A|B) = P(A∩B)/P(B)

التباديل P(n,r)n!/(n−r)! — يراعي الترتيب

التوافيق C(n,r)n!/[r!(n−r)!]

C(n,r)= C(n, n−r)

0!= 1

زاوية فئة دائرية(النسبة÷100) × 360°

الفصل الخامس: القياس والكميات

السرعة والمسافة والزمن · التحويلات بين الوحدات · متوسط السرعة

05

1. السرعة والمسافة والزمن

العلاقة الأساسية

المسافة = السرعة × الزمن (d = v × t)

السرعة = المسافة ÷ الزمن (v = d ÷ t)

الزمن = المسافة ÷ السرعة (t = d ÷ v)

★ مثال محلول

سيارة تتحرك بسرعة 80 كم/ساعة. ما المسافة التي تقطعها في 2.5 ساعة؟

d = v × t = 80 × 2.5 = 200

المسافة = 200 كم ✔

★ مثال محلول

قطار قطع مسافة 540 كم في 4.5 ساعة. أوجد سرعته.

v = d ÷ t = 540 ÷ 4.5 = 120

السرعة = 120 كم/ساعة ✔

2. التحويلات بين الوحدات

الوحدة	التحويل
الطول	1 كم = 1000 م ، 1 م = 100 سم ، 1 سم = 10 مم
الزمن	1 ساعة = 60 دقيقة = 3600 ثانية ، 1 دقيقة = 60 ثانية
السرعة	1 كم/ساعة = 1000 م/3600 ث = 5/18 م/ث ≈ 0.278 م/ث
الكتلة	1 طن = 1000 كجم ، 1 كجم = 1000 جم

★ مثال محلول

حول سرعة 72 كم/ساعة إلى م/ث.

القاعدة: اضرب في (5/18)
72 × (5/18) = 4 × 5 = 20

السرعة = 20 م/ث ✔

★ مثال محلول — تحويل زمن

سيارة تقطع مسافة 90 كم بسرعة 60 كم/ساعة. أوجد الزمن بالدقائق.

الزمن بالساعات: t = 90 ÷ 60 = 1.5 ساعة
التحويل: 1.5 × 60 = 90 دقيقة

الزمن = 90 دقيقة (= ساعة ونصف) ✔

3. متوسط السرعة

متوسط السرعة

متوسط السرعة = (المسافة الكلية) ÷ (الزمن الكلي)

⚠

فخ شائع متوسط السرعة ليس بالضرورة متوسط السرعتين. بل هو مجموع المسافات مقسوماً على مجموع الأزمنة.

★ مثال محلول

سائق قطع 120 كم بسرعة 60 كم/ساعة، ثم عاد 120 كم بسرعة 40 كم/ساعة. أوجد متوسط السرعة للرحلة كاملة.

زمن الذهاب: 120 ÷ 60 = 2 ساعة
زمن العودة: 120 ÷ 40 = 3 ساعة
المسافة الكلية: 120 + 120 = 240 كم
الزمن الكلي: 2 + 3 = 5 ساعة
متوسط السرعة = 240 ÷ 5 = 48 كم/ساعة

متوسط السرعة = 48 كم/ساعة ✔

★

قاعدة سريعة للحالة الخاصة إذا قطعت نفس المسافة بسرعتين مختلفتين v₁ و v₂، فإن متوسط السرعة = 2v₁v₂ ÷ (v₁ + v₂) (الوسط التوافقي).
تحقق من المثال: (2×60×40) ÷ (60+40) = 4800 ÷ 100 = 48 ✓

ورقة المراجعة — الفصل 5

المسافةd = v × t

السرعةv = d ÷ t

الزمنt = d ÷ v

متوسط السرعةالمسافة الكلية ÷ الزمن الكلي

1 كم= 1000 م

1 ساعة= 60 دقيقة = 3600 ثانية

كم/ساعة → م/ث× (5 ÷ 18)

م/ث → كم/ساعة× (18 ÷ 5)

1 طن= 1000 كجم

متوسط لرحلتين متساويتي المسافة2v₁v₂/(v₁+v₂)

تنبيهمتوسط السرعة ≠ متوسط السرعتين

الفصل السادس: الكسور العشرية والنسب المئوية المتقدمة

التحويل بين الكسور والعشرية والنسبة المئوية · العمليات · نسبة التغير · النسب المركبة

06

1. التحويل بين الكسور والعشرية والنسبة المئوية

الكسر والعشرية والنسبة المئوية هي ثلاثة أشكال لتمثيل نفس القيمة، ويمكن التحويل بينها بسهولة:

قاعدة التحويل

الكسر: بسط ÷ مقام = عشرية × 100 = نسبة مئوية

الكسر	العشرية	النسبة المئوية
1/4	0.25	25%
3/5	0.60	60%
1/2	0.50	50%
1/3	0.333…	33.33%
3/4	0.75	75%

★ مثال محلول

حوّل الكسر 3/8 إلى كسر عشري ثم إلى نسبة مئوية.

العشرية: 3 ÷ 8 = 0.375
النسبة المئوية: 0.375 × 100 = 37.5%

3/8 = 0.375 = 37.5% ✔

2. العمليات على الكسور العشرية

تُجرى العمليات على الكسور العشرية بنفس طريقة الأعداد الصحيحة مع مراعاة محاذاة الفاصلة العشرية:

الجمع والطرح: حاذِ الفاصلة العشرية تحت بعضها، ثم اجمع/اطرح كالمعتاد.
الضرب: اضرب الأعداد دون الفاصلة، ثم ضع الفاصلة بحيث يكون عدد الأرقام بعد الفاصلة = مجموع عدد الأرقام بعد الفاصلة في العددين.
القسمة: حوّل المقام (العدد الذي نقسم عليه) إلى عدد صحيح بضرب البسط والمقام في 10 أو 100 حسب الحاجة، ثم اقسم.

أمثلة سريعة

2.5 + 1.3 = 3.8 | 4.7 − 2.3 = 2.4

0.5 × 0.4 = 0.20 | 6.4 ÷ 0.8 = 8

★ مثال محلول

احسب: 0.25 × 0.8

الضرب بدون فاصلة: 25 × 8 = 200
عدد الأرقام بعد الفاصلة: 2 + 1 = 3 ← 0.200 = 0.2

0.25 × 0.8 = 0.2 ✔

3. النسبة المئوية للزيادة والنقصان

نسبة التغير

نسبة التغير = (الجديد − القديم) ÷ القديم × 100%

إذا كانت النتيجة موجبة فهي زيادة، وإن كانت سالبة فهي نقصان.

★ مثال محلول

انخفض سعر سلعة من 80 ريال إلى 60 ريال. ما نسبة النقصان؟

التطبيق: (60 − 80) ÷ 80 × 100%
= (−20 ÷ 80) × 100% = −25%

نسبة النقصان = 25% ✔

4. النسب المئوية المتراكمة (Compounding)

⚠

فخ حرج إذا زاد راتب 10% ثم 10%، فإن الزيادة الكلية ليست 20%، بل 21% لأن الزيادة الثانية تُطبَّق على الأساس الجديد الأكبر.

القاعدة الرياضية

1.10 × 1.10 = 1.21 ⇒ زيادة 21%

★ مثال محلول

راتب 2000 ريال زاد 10% ثم 10%. ما الراتب النهائي وما نسبة الزيادة الكلية؟

الطريقة 1 (تتابعية):
بعد الزيادة الأولى: 2000 × 1.10 = 2200
بعد الزيادة الثانية: 2200 × 1.10 = 2420 ريال
الطريقة 2 (مركّبة): 2000 × 1.10² = 2000 × 1.21 = 2420 ريال
نسبة الزيادة الكلية: (2420 − 2000) ÷ 2000 × 100% = 21%

الراتب النهائي = 2420 ريال، الزيادة الكلية = 21% ✔

5. "a هو ما نسبته من b؟"

القاعدة

النسبة المئوية = (a ÷ b) × 100%

★ مثال محلول

18 هو ما نسبته من 72؟

(18 ÷ 72) × 100% = 0.25 × 100% = 25%

18 = 25% من 72 ✔

★

ملاحظة ذهبية p% من q = q% من p. تحقق: 25% من 80 = 20، و80% من 25 = 20. هذه الخاصية مفيدة جداً في المقارنات الكمية.

ورقة المراجعة — الفصل 6

1/4= 0.25 = 25%

3/5= 0.6 = 60%

1/2= 0.5 = 50%

1/3≈ 0.333 = 33.3%

عشرية → %× 100

% → عشرية÷ 100

كسر → عشريةالبسط ÷ المقام

نسبة التغير(جديد−قديم)/قديم×100

1.10 × 1.10= 1.21 (زيادة 21%)

a ما نسبته من b(a/b) × 100%

ضرب عشرياجمع منازل ما بعد الفاصلة

قسمة عشريةحوّل المقام إلى صحيح

الفصل السابع: المعدلات والنسب المتقدمة

النسب المكافئة · قسمة الكمية · التناسب المباشر والعكسي · السرعة والإنتاجية

07

1. النسب المكافئة (Equivalent Ratios)

النسب المكافئة هي نسب تعبّر عن نفس العلاقة بعد ضرب أو قسمة طرفيها على نفس العدد.

أمثلة على نسب مكافئة

2 : 3 = 4 : 6 = 6 : 9 = 10 : 15

!

قاعدة التحقق لمعرفة هل نسبتان مكافئتان: اضرب طرفي الأولى في عدد لتساوي الثانية، أو تحقق من جداء الطرفين: a × d = b × c.

★ مثال محلول

هل النسبتان 3 : 4 و 9 : 12 مكافئتان؟

الطريقة 1 (ضرب): 3 × 3 = 9 و 4 × 3 = 12 ✓
الطريقة 2 (جداء الأطراف): 3 × 12 = 36 و 4 × 9 = 36 ✓
النسبتان مكافئتان

نعم، مكافئتان ✔

2. قسمة كمية بنسبة معينة

لقسمة كمية على أجزاء بنسبة معينة، اتبع الخطوات:

أوجد مجموع أجزاء النسبة.
اقسم الكمية الكلية على المجموع لمعرفة قيمة الجزء الواحد.
اضرب قيمة الجزء في كل جزء من أجزاء النسبة.

★ مثال محلول

قسّم 1200 ريال على ثلاثة أشخاص بنسبة 2 : 3 : 1.

مجموع أجزاء النسبة: 2 + 3 + 1 = 6 أجزاء
قيمة الجزء الواحد: 1200 ÷ 6 = 200 ريال
الأنصبة:
الأول: 2 × 200 = 400 الثاني: 3 × 200 = 600 الثالث: 1 × 200 = 200
التحقق: 400 + 600 + 200 = 1200 ✓

الأنصبة: 400 ، 600 ، 200 ريال ✔

3. التناسب المباشر (Direct Proportion)

في التناسب المباشر، عندما تزيد إحدى الكميتين تزيد الأخرى بنفس النسبة. العلاقة على الصورة: y = k × x (حيث k ثابت).

التناسب المباشر

y = k × x ⇒ y₁ ÷ x₁ = y₂ ÷ x₂

★ مثال محلول

إذا كانت 5 أقلام تكلف 25 ريال، فكم تكلف 8 أقلام بنفس السعر؟

إيجاد ثابت التناسب k: k = 25 ÷ 5 = 5 ريال/قلم
تكلفة 8 أقلام: y = k × x = 5 × 8 = 40 ريال

تكلفة 8 أقلام = 40 ريال ✔

4. التناسب العكسي (Inverse Proportion)

في التناسب العكسي، عندما تزيد إحدى الكميتين تنقص الأخرى بحيث يبقى جداؤهما ثابتاً. العلاقة: x × y = k (حيث k ثابت).

التناسب العكسي

x × y = k ⇒ x₁ × y₁ = x₂ × y₂

★ مثال محلول

4 عمال ينتهون من عمل في 6 أيام. كم يوماً يحتاج 3 عمال لإنجاز نفس العمل؟

ثابت العمل: k = 4 × 6 = 24 (عامل × يوم)
العلاقة العكسية: 3 × y = 24 ⇒ y = 24 ÷ 3 = 8 أيام

يحتاج 3 عمال إلى 8 أيام ✔

⚠

كيف نميّز بين النوعين؟ إذا قلّ عدد العمال زاد الزمن (علاقة عكسية). إذا زاد عدد الأقلام زادت التكلفة (علاقة مباشرة). انتبه لطبيعة العلاقة قبل اختيار القانون!

5. المعدلات: السرعة والإنتاجية وتكلفة الوحدة

المعدل هو نسبة بين كميتين بوحدتين مختلفتين، مثل كم/ساعة أو ريال/كيلو.

قوانين المعدلات

السرعة = المسافة ÷ الزمن (كم/ساعة)

الإنتاجية = العمل المنجز ÷ الزمن (وحدة/ساعة)

تكلفة الوحدة = التكلفة الكلية ÷ عدد الوحدات

★ مثال محلول

سيارة قطعت 240 كم في 3 ساعات. ما سرعتها؟ وما المسافة التي تقطعها في 5 ساعات؟

السرعة (المعدل): 240 ÷ 3 = 80 كم/ساعة
المسافة في 5 ساعات: 80 × 5 = 400 كم

السرعة = 80 كم/ساعة ، المسافة في 5 ساعات = 400 كم ✔

ورقة المراجعة — الفصل 7

نسب مكافئة2:3 = 4:6 = 6:9

تحقق التكافؤa×d = b×c

قسمة كميةاقسم على مجموع الأجزاء

تناسب مباشرy = k × x

تناسب عكسيx × y = k

السرعةالمسافة ÷ الزمن

الإنتاجيةالعمل ÷ الزمن

تكلفة الوحدةالتكلفة ÷ عدد الوحدات

مباشر — علامةزيادة ↔ زيادة

عكسي — علامةزيادة ↔ نقصان

الفصل الثامن: الدوال والتمثيل البياني

تعريف الدالة · المجال والمدى · الدالة الخطية · الميل · الدالة التربيعية

08

1. تعريف الدالة (Function)

الدالة هي علاقة تربط كل عنصر في مجموعة الدخل (المجال) بعنصر واحد فقط في مجموعة الخرج (المدى). تُكتب على الصورة f(x) = ....

!

الشرط الجوهري لكل قيمة x يمكن أن توجد قيمة y واحدة فقط. أما إذا كان لقيمة x واحدة أكثر من قيمة y، فالعلاقة ليست دالة.

2. مجال الدالة والمدى

المجال (Domain): جميع قيم x التي تجعل الدالة معرفة (تنتج قيمة حقيقية).

المدى (Range): جميع قيم y الناتجة من الدالة.

⚠

قيود شائعة على المجال (1) لا يمكن القسمة على صفر: في f(x) = 1 ÷ (x − 3) نستثني x = 3. (2) لا يمكن الجذر التربيعي لعدد سالب: في f(x) = √x يجب x ≥ 0.

★ مثال محلول

أوجد مجال الدالة f(x) = 5 ÷ (x − 3).

القيد: لا يمكن أن يكون المقام = 0
x − 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3
المجال: جميع الأعداد الحقيقية ما عدا 3.

المجال: x ∈ ℝ ، x ≠ 3 ✔

3. الدالة الخطية (Linear Function)

الدالة الخطية على الصورة f(x) = a·x + b حيث a هو الميل و b هو التقاطع مع المحور y.

الدالة الخطية

f(x) = a·x + b | الميل = a | التقاطع مع y = b

الميل الموجب (a > 0): الخط صاعد من اليسار إلى اليمين (في الإحداثيات الديكارتية).
الميل السالب (a < 0): الخط نازل.
الميل = 0: خط أفقي ثابت f(x) = b.

★ مثال محلول

للدالة f(x) = −2x + 5، أوجد الميل والتقاطع مع المحور y، وقيمة f(3).

الميل: a = −2 (سالب، فالخط نازل)
التقاطع مع y: b = 5 (نقطة (0, 5))
قيمة الدالة عند x = 3: f(3) = −2(3) + 5 = −6 + 5 = −1

الميل = −2 ، التقاطع = 5 ، f(3) = −1 ✔

4. التمثيل البياني للدالة الخطية

يُمثَّل الخط المستقيم بنقطتين فقط:

التقاطع مع محور y: النقطة (0, b).
التقاطع مع محور x: نضع f(x) = 0 ونحل: 0 = a·x + b ⇒ x = −b ÷ a.

نقطة التقاطع مع x

عند y = 0 ⇒ x = −b ÷ a

★ مثال محلول

أوجد نقطتي تقاطع المعادلة y = 2x − 4 مع المحورين.

التقاطع مع y: x = 0 ⇒ y = −4 → النقطة (0, −4)
التقاطع مع x: y = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 → النقطة (2, 0)
بوصلهما بخط مستقيم نحصل على تمثيل الدالة.

النقاط: (0, −4) و (2, 0) ✔

5. الدالة التربيعية (Quadratic Function) — أساسيات

الدالة التربيعية على الصورة f(x) = a·x² (الصورة الأساسية)، وتمثيلها البياني قطع مكافئ (Parabola).

إذا كان a > 0: القطع المكافئ مفتوح للأعلى (يبنى قعراً في الأسفل).
إذا كان a < 0: القطع المكافئ مفتوح للأسفل (يبنى قمة في الأعلى).
رأس القطع عند النقطة (0, 0) في الصورة الأساسية f(x) = a·x².

★ مثال محلول

للدالة f(x) = 2x²، أوجد f(3) و f(−3). ماذا تلاحظ؟

f(3): 2 × (3)² = 2 × 9 = 18
f(−3): 2 × (−3)² = 2 × 9 = 18
الملاحظة: الدالة زوجية (f(x) = f(−x)) لأن التربيع يلغي الإشارة. وهذا متوقع لأن القطع المكافئ متماثل حول محور y.

f(3) = f(−3) = 18 ✔

ورقة المراجعة — الفصل 8

الدالةلكل x قيمة y واحدة

المجالقيم x المسموحة

المدىقيم y الناتجة

دالة خطيةf(x) = a·x + b

الميل= a

التقاطع مع y= b (عند x=0)

التقاطع مع xx = −b/a (عند y=0)

موجب aخط صاعد

سالب aخط نازل

دالة تربيعيةf(x) = a·x² (قطع مكافئ)

قيود المجالمقام ≠ 0 ، تحت الجذر ≥ 0

f(x) = a·x²دالة زوجية متماثلة

الفصل التاسع: المنطق الرياضي والمقارنات الكمية

أسلوب "أي الكميتين أكبر؟" · الاستراتيجيات · فخاخ المربع والسالب · أمثلة محلولة

09

1. أسلوب المقارنة الكمية

في هذا النوع من الأسئلة تُعطى كميتان: العمود أ (Quantity A) و العمود ب (Quantity B)، وعليك اختيار الإجابة الصحيحة من بين:

الخيار	المعنى
(أ)	الكمية في العمود أ أكبر
(ب)	الكمية في العمود ب أكبر
(ج)	الكميتان متساويتان
(د)	لا يمكن تحديد الإجابة من المعلومات المعطاة

2. الاستراتيجيات الذهبية

جرّب أرقاماً: اختَر قيماً بسيطة للمتغيرات واختبر. جرّب قيمة موجبة وواحدة سالبة وواحدة كسرية.
استخدم الجبر: إذا كانت الكميتان جبريتين، حاول التحويل أو التبسيط للمقارنة.
انتبه للإشارات: العدد السالب يقلب المقارنات. −3 < −1 لكن |−3| > |−1|.
اختبر الحالات الحدية: 0، 1، −1، أعداد كسرية بين 0 و 1.
إذا اختلفت الإجابة باختيار القيم → الإجابة (د) لا يمكن التحديد.

⚠

فخ شائع جداً: مربع المتغير العبارة x² قد تأتي من مصدرين: x موجب أو x سالب. فمثلاً x = 2 و x = −2 كلاهما يعطي x² = 4. لذلك عند مقارنة كميات تحتوي x² بدون معرفة إشارة x، قد تكون الإجابة (د) لا يمكن التحديد.

3. أمثلة محلولة على المقارنات الكمية

★ مثال 1 — أرقام مباشرة

العمود أ: x² حيث x = 5 | العمود ب: x³ حيث x = 5

العمود أ: 5² = 25
العمود ب: 5³ = 125
125 > 25 ⇒ العمود ب أكبر

الإجابة: (ب) ✔

★ مثال 2 — فخ x² للعدد الصحيح

x عدد صحيح غير صفري. العمود أ: x² | العمود ب: x

لنجرب قيماً صحيحة مختلفة:
• x = 2: العمود أ = 4، العمود ب = 2 ⇒ (أ) أكبر
• x = −2: العمود أ = 4، العمود ب = −2 ⇒ (أ) أكبر
• x = 1: العمود أ = 1، العمود ب = 1 ⇒ متساويتان
بما أن النتيجة تختلف (تارة أ أكبر، وتارة متساويتان) → لا يمكن التحديد

الإجابة: (د) لا يمكن التحديد ✔

★ مثال 3 — نسب مئوية متساوية

العمود أ: 25% من 80 | العمود ب: 80% من 25

العمود أ: 0.25 × 80 = 20
العمود ب: 0.80 × 25 = 20
الكميتان متساويتان (وهذا متوقع: p% من q = q% من p)

الإجابة: (ج) متساويتان ✔

★ مثال 4 — فخ الشرط x > 0

العمود أ: 2x + 3 حيث x > 0 | العمود ب: 5

اختبار x = 1: 2(1) + 3 = 5 → متساويتان
اختبار x = 2: 2(2) + 3 = 7 > 5 → (أ) أكبر
اختبار x = ½: 2(½) + 3 = 4 < 5 → (ب) أكبر
بما أن النتيجة تختلف باختلاف قيمة x → لا يمكن التحديد

الإجابة: (د) لا يمكن التحديد ✔

★ مثال 5 — معادلتان بحلول متعددة

العمود أ: قيمة x حيث 2x = 10 | العمود ب: قيمة x حيث x² = 25

العمود أ: 2x = 10 ⇒ x = 5 (قيمة واحدة)
العمود ب: x² = 25 ⇒ x = 5 أو x = −5 (قيمتان)
إذا كان x في العمود ب = 5 → متساويتان
إذا كان x في العمود ب = −5 → العمود أ أكبر
إذن لا يمكن التحديد

الإجابة: (د) لا يمكن التحديد ✔

★ مثال 6 — عدّ الأعداد الأولية

العمود أ: عدد الأعداد الأولية بين 1 و 10 | العمود ب: 4

الأعداد الأولية بين 1 و 10: 2، 3، 5، 7
عددها = 4
الكميتان متساويتان

الإجابة: (ج) متساويتان ✔

ورقة المراجعة — الفصل 9

الخيار (أ)العمود أ أكبر

الخيار (ب)العمود ب أكبر

الخيار (ج)متساويتان

الخيار (د)لا يمكن التحديد

استراتيجيةجرّب قيماً متنوعة

فخ x²موجبة من مصدرين

قيم حدية0، 1، −1، كسور

اختلفت النتيجة⇒ (د) لا يمكن التحديد

p% من q= q% من p

تنبيه السالب−3 < −1 لكن |−3| > |−1|

الفصل العاشر: مفاهيم إضافية مهمة

إثباتات الزوجي والفردي · المربعات التامة · الجذور · المتوسط المرجّح · مبدأ العد

10

1. إثباتات الزوجي والفردي بالجبر

نعبّر جبرياً: العدد الزوجي = 2k، والعدد الفردي = 2k + 1 (حيث k عدد صحيح).

إثبات: زوجي × زوجي = زوجي

(2a) × (2b) = 4ab = 2 × (2ab)

بما أن الناتج على صورة 2 × (عدد صحيح) ⇒ زوجي ✓

إثبات: فردي × فردي = فردي

(2a + 1)(2b + 1) = 4ab + 2a + 2b + 1

= 2 × (2ab + a + b) + 1

على صورة (2k + 1) ⇒ فردي ✓

★

تعميم مفيد • زوجي × أي عدد صحيح = زوجي. • فردي × فردي = فردي. • فردي² = فردي. • زوجي² = زوجي (ومن مضاعفات 4).

2. المربعات التامة (Perfect Squares)

المربع التام هو عدد صحيح موجب يكون حاصل ضرب عدد صحيح في نفسه.

المربعات التامة الأولى

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225

العدد	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
المربع	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

3. الجذور التربيعية

الجذر التربيعي للعدد x هو العدد الذي إذا ضربناه في نفسه أعطى x. يرمز له بـ √x.

قيم مهمة لتحفظها

√1 = 1 | √4 = 2 | √9 = 3 | √16 = 4 | √25 = 5

√2 ≈ 1.414 | √3 ≈ 1.732 | √5 ≈ 2.236

خاصية الجذور

√(a × b) = √a × √b

√(a ÷ b) = √a ÷ √b (b ≠ 0)

★ مثال محلول

بسّط: √72

التحليل: 72 = 36 × 2
التطبيق: √72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2
القيمة التقريبية: 6 × 1.414 ≈ 8.485

√72 = 6√2 ≈ 8.485 ✔

4. المتوسط المرجّح (Weighted Mean)

المتوسط المرجّح يأخذ في الحسبان "أوزان" مختلفة للقيم. يُستخدم لحساب المعدلات الموزونة كالدرجات.

المتوسط المرجّح

المتوسط المرجّح = Σ(القيمة × الوزن) ÷ Σ(الأوزان)

★ مثال محلول

طالب حصل على 80 بوزن 3 ساعات، و90 بوزن 2 ساعة. أوجد متوسطه المرجّح.

البسط: (80 × 3) + (90 × 2) = 240 + 180 = 420
المقام: 3 + 2 = 5
المتوسط المرجّح: 420 ÷ 5 = 84

المتوسط المرجّح = 84 ✔

⚠

فخ شائع المتوسط المرجّح ليس المتوسط الحسابي البسيط (80 + 90) ÷ 2 = 85. الفرق أن للأوزان تأثيراً، فالقيم ذات الوزن الأكبر تسحب المتوسط نحوها.

5. مبدأ العد (Multiplication Principle)

إذا كان حدث أ يمكن أن يقع بـ m طريقة، وحدث ب يمكن أن يقع بـ n طريقة (مستقلة عن أ)، فإن عدد الطرق لوقوع الحدثين معاً = m × n.

مبدأ العد

عدد الطرق الكلي = m × n × ...

★ مثال محلول

مطعم يقدم 3 مقدمات، و4 أطباق رئيسية، و2 حلويات. كم وجبة كاملة يمكن تكوينها؟

التطبيق: 3 × 4 × 2 = 24 وجبة

عدد الوجبات الممكنة = 24 ✔

★ مثال محلول — تكوين أرقام

كم عدداً من رقمين يمكن تكوينه من الأرقام {1, 2, 3, 4} إذا سُمح بتكرار الأرقام؟

الخانة الأولى (العشرات): 4 خيارات
الخانة الثانية (الآحاد): 4 خيارات (التكرار مسموح)
العدد الكلي: 4 × 4 = 16 عدداً

يمكن تكوين 16 عدداً ✔

ورقة المراجعة — الفصل 10

زوجي= 2k

فردي= 2k + 1

زوجي × زوجي= زوجي (مثبت)

فردي × فردي= فردي (مثبت)

مربعات تامة1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

√2≈ 1.414

√3≈ 1.732

√5≈ 2.236

√(a×b)= √a × √b

متوسط مرجّحΣ(ق×و) ÷ Σو

مبدأ العدm × n × ...

تنبيه المرجّح≠ المتوسط البسيط

الفصل الحادي عشر: الإحصاء المتقدم والبيانات

المتوسط المرجّح · الوسيط · الانحراف المعياري · قراءة الرسوم البيانية بالرسوم التوضيحية

11

1. المتوسط المرجّح (Weighted Mean)

المتوسط المرجّح هو متوسط تكون فيه لكل قيمة وزن معيّن يعكس أهميتها أو تكرارها. يُستخدم كثيراً في حساب المعدلات الجامعية (حيث لكل مادة عدد ساعاتها) وفي حساب متوسط الأسعار.

قانون المتوسط المرجّح

المتوسط المرجّح = (Σ قيمة × وزن) ÷ (Σ أوزان)

⚠

فخ شائع لا تستخدم المتوسط الحسابي البسيط (مجموع القيم ÷ عددها) عندما تختلف الأوزان. القيمة ذات الوزن الأكبر "تسحب" المتوسط نحوها.

★ مثال محلول 1

طالب حصل على 80 بوزن 3 ساعات، و 90 بوزن 2 ساعة، و 60 بوزن 1 ساعة. احسب متوسطه المرجّح.

البسط: (80 × 3) + (90 × 2) + (60 × 1) = 240 + 180 + 60 = 480
المقام (مجموع الأوزان): 3 + 2 + 1 = 6
المتوسط المرجّح: 480 ÷ 6 = 80

المتوسط المرجّح = 80 ✔

★ مثال محلول 2

متجر اشترى 5 قطع بسعر 10 ريال، و 3 قطع بسعر 20 ريال، وقطعتين بسعر 30 ريال. احسب متوسط سعر القطعة.

البسط: (10 × 5) + (20 × 3) + (30 × 2) = 50 + 60 + 60 = 170
المقام: 5 + 3 + 2 = 10 قطع
متوسط السعر: 170 ÷ 10 = 17 ريالاً

متوسط سعر القطعة = 17 ريالاً ✔

★ مثال محلول 3

طالب جامعي حصل على: 85 في مادة (4 ساعات)، 75 في مادة (3 ساعات)، 90 في مادة (ساعتان)، 80 في مادة (ساعة واحدة). أوجد معدله الفصلي.

البسط: (85×4) + (75×3) + (90×2) + (80×1)
= 340 + 225 + 180 + 80 = 825
المقام: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 ساعات
المعدل: 825 ÷ 10 = 82.5

المعدل الفصلي = 82.5 ✔

2. الوسيط (Median) لعدد زوجي وفردي

الوسيط هو القيمة الوسطى في مجموعة مرتبة من الأعداد. طريقة إيجاده تختلف بحسب عدد القيم:

قاعدة الوسيط

عدد فردي: الوسيط = القيمة في المنتصف تماماً

عدد زوجي: الوسيط = متوسط القيمتين الوسطيتين

★ مثال محلول — عدد فردي

أوجد وسيط الأعداد: 12, 5, 8, 3, 17

الترتيب تصاعدياً: 3, 5, 8, 12, 17
عدد القيم = 5 (فردي) → القيمة الوسطى هي الثالثة
الوسيط = 8

الوسيط = 8 ✔

★ مثال محلول — عدد زوجي

أوجد وسيط الأعداد: 4, 7, 1, 9, 3, 6

الترتيب: 1, 3, 4, 6, 7, 9
عدد القيم = 6 (زوجي) → نأخذ متوسط القيمتين الوسطيتين
القيمتان الوسطيتان: 4 و 6
الوسيط = (4 + 6) ÷ 2 = 5

الوسيط = 5 ✔

3. تأثير إضافة/حذف قيمة على المتوسط والوسيط

إضافة قيمة كبيرة جداً (شاذة) ترفع المتوسط كثيراً، بينما لا يتأثر الوسيط إلا قليلاً. وهذا ما يجعل الوسيط أكثر مقاومة للقيم الشاذة من المتوسط.

★ مثال محلول

الأعداد: 4, 8, 12, 16, 20. أوجد المتوسط والوسيط، ثم أعد الحساب بعد إضافة القيمة 100.

قبل الإضافة:
المتوسط = (4+8+12+16+20) ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12
الوسيط = 12 (القيمة الوسطى في الترتيب)
بعد إضافة 100: الأعداد: 4, 8, 12, 16, 20, 100
المتوسط = (4+8+12+16+20+100) ÷ 6 = 160 ÷ 6 ≈ 26.67 (ارتفع كثيراً)
الوسيط = متوسط القيمتين الوسطيتين (12 و 16) = (12+16) ÷ 2 = 14 (تغير طفيف)

الوسيط أكثر استقراراً (12 → 14) بينما المتوسط ارتفع كثيراً (12 → 26.67) ✔

★

قاعدة ذهبية القيمة الشاذة تؤثر بقوة على المتوسط لكنها بالكاد تؤثر على الوسيط. لذلك عند تحليل الدخل أو الثروة، يُفضَّل استخدام الوسيط لأن المتوسط يُضخَّم من قِبل الأثرياء جداً.

4. الانحراف المعياري (مفهوم فقط)

الانحراف المعياري مقياس لتشتت البيانات حول متوسطها. كلما زاد الانحراف المعياري، كانت البيانات أكثر تباعداً عن المتوسط، وكلما قارب الصفر كانت أكثر تجمعاً.

مفهوم التشتت

انحراف معياري كبير ⇒ بيانات متباعدة

انحراف معياري صغير ⇒ بيانات متجمعة حول المتوسط

!

تذكر المفهوم مجموعتان لهما نفس المتوسط قد تختلفان في الانحراف المعياري. مثلاً: {4, 5, 6} و {0, 5, 10} كلاهما متوسطه 5، لكن الثانية أكثر تشتتاً (انحرافها أكبر).

5. قراءة الرسوم البيانية (Graphs)

الرسوم البيانية أدوات لعرض البيانات بصرياً. أكثر أنواعها شيوعاً في الاختبارات:

أ. الرسم الأعمدة (Bar Chart): يقارن بين فئات مختلفة بأعمدة طولها يتناسب مع القيمة.

★ مثال محلول

من الرسم الأعمدة السابق: ما الفرق بين أعلى مبيعات وأقل مبيعات؟ وما متوسط المبيعات؟

أعلى مبيعات: 52 (أبريل)
أقل مبيعات: 30 (يناير)
الفرق: 52 − 30 = 22 ألف ريال
المتوسط: (30 + 45 + 37 + 52) ÷ 4 = 164 ÷ 4 = 41 ألف ريال

الفرق = 22 ، المتوسط = 41 ألف ريال ✔

ب. الرسم الخطي (Line Chart): يوضح التغير عبر الزمن بنقاط متصلة بخطوط.

ج. الرسم الدائري (Pie Chart): يوضح نسبة كل فئة من الإجمالي بدائرة مقسَّمة إلى قطاعات.

★ مثال محلول

إذا كان مجموع درجات الطالب في الرسم الدائري السابق = 500 درجة، فكم درجته في الرياضيات؟

نسبة الرياضيات = 50%
درجة الرياضيات = 500 × 0.50 = 250 درجة

درجة الرياضيات = 250 ✔

الفصل الثاني عشر: الاحتمالات المتقدمة

الاحتمال المعكوس · الأحداث المستقلة والمتنافية · الشجرة الاحتمالية · مسائل الورق والنرد والوراثة

12

1. الاحتمال البسيط والمعكوس

الاحتمال البسيط لحدث E هو: P(E) = عدد النواتج المواتية ÷ عدد النواتج الكلية. أما الاحتمال المعكوس فيُحسب من العلاقة الأساسية:

قانون الاحتمال المعكوس

P(not E) = 1 − P(E)

★ مثال محلول

ما احتمال ألا يظهر الرقم 6 عند رمي حجر نرد عادي مرة واحدة؟

P(ظهور 6) = 1/6
P(عدم ظهور 6) = 1 − 1/6 = 5/6

الاحتمال = 5/6 ≈ 0.833 ✔

2. الأحداث المستقلة (Independent Events)

حدثان مستقلان إذا كان وقوع أحدهما لا يؤثر على احتمال وقوع الآخر. مثلاً رمي نرد مرتين: نتيجة الرمية الأولى لا تؤثر على الثانية.

قانون الحدثين المستقلين

P(A and B) = P(A) × P(B)

★ مثال محلول — رمي نرد مرتين

ما احتمال أن يظهر الرقم 6 في رميتين متتاليتين لحجر نرد؟

P(6 في الرمية الأولى) = 1/6
P(6 في الرمية الثانية) = 1/6 (الحدثان مستقلان)
P(6 ثم 6) = 1/6 × 1/6 = 1/36

الاحتمال = 1/36 ≈ 0.028 ✔

★ مثال محلول

رمي عملة معدنية 3 مرات. ما احتمال ظهور الكتابة (T) ثلاث مرات متتالية؟

P(T) = 1/2 في كل رمية (الأحداث مستقلة)
P(TTT) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8

الاحتمال = 1/8 = 0.125 = 12.5% ✔

3. الأحداث المتنافية (Mutually Exclusive)

حدثان متنافيان إذا لا يمكن وقوعهما معاً في نفس التجربة. مثلاً في رمي نرد، لا يمكن أن يظهر 4 و 5 معاً في الرمية نفسها.

قانون الحدثين المتنافيين

P(A or B) = P(A) + P(B)

⚠

تنبيه هذا القانون يصلح فقط للأحداث المتنافية (لا يمكن وقوعهما معاً). أما إذا كان يمكن وقوعهما معاً فنستخدم: P(A or B) = P(A) + P(B) − P(A and B).

★ مثال محلول — ورق اللعب

من بطاقات عادية (52 بطاقة)، اسحب بطاقة عشوائية. ما احتمال أن تكون ملكاً أو ملكة؟

لا يمكن للبطاقة أن تكون ملكاً وملكة معاً → حدثان متنافيان
P(ملك) = 4/52 (4 ملوك)
P(ملكة) = 4/52 (4 ملكات)
P(ملك أو ملكة) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13

الاحتمال = 2/13 ≈ 0.154 ✔

4. الشجرة الاحتمالية (Probability Tree)

الشجرة الاحتمارية أداة بصرية لتنظيم الاحتمالات في تجارب متعددة المراحل. كل فرع يمثل ناتجاً محتملاً، وحاصل ضرب الاحتمالات على طول مسار واحد يعطي احتمال ذلك المسار الكامل.

★ مثال محلول

من الشجرة السابقة: ما احتمال ظهور نتيجتين مختلفتين (HT أو TH)؟

P(HT) = ½ × ½ = ¼
P(TH) = ½ × ½ = ¼
P(HT أو TH) = ¼ + ¼ = ½ (الحدثان متنافيان)

الاحتمال = ½ = 50% ✔

5. مسائل الورق والنرد والكرة — تطبيقات

★ مثال محلول — كرات ملونة

كيس به 5 كرات حمراء، 3 زرقاء، 2 خضراء. سُحبت كرة عشوائياً. ما احتمال أن تكون (أ) حمراء (ب) ليست زرقاء؟

العدد الكلي: 5 + 3 + 2 = 10 كرات
(أ) P(حمراء) = 5/10 = ½
(ب) طريقة 1: ليست زرقاء = حمراء أو خضراء = 5+2 = 7 → P = 7/10
طريقة 2 (المعكوس): P(ليست زرقاء) = 1 − P(زرقاء) = 1 − 3/10 = 7/10

(أ) ½ (ب) 7/10 ✔

★ مثال محلول — وراثة (احتمال)

في تزاوج Aa × Aa (حيث A سائد و a متنحي)، ما احتمال ظهور النسل ذو الصفة المتنحية؟

التزاوج يعطي التراكيب: AA, Aa, Aa, aa (نسبة 1:2:1)
الصفة المتنحية تظهر فقط بالتركيب aa
احتمال ظهور الصفة المتنحية = 1 من 4 = ¼ = 25%

الاحتمال = ¼ = 25% ✔

!

قاعدة VIP أي مسألة وراثة يجب أن تُحل باستخدام مفهوم الاحتمال، لا "النسبة" فقط. اكتب دائماً "احتمال = ..." في الإجابة.

الفصل الثالث عشر: الهندسة المتقدمة — بالرسومات التوضيحية

المثلث · فيثاغورس · الدائرة · الزوايا المركزية والمحيطية · المضلعات · الرباعيات · شبه المنحرف · الأشكال المركبة

13

1. نظرية مجموع زوايا المثلث = 180°

في أي مثلث، مجموع قياسات زواياه الداخلية الثلاث = 180°. هذه من أهم نظريات الهندسة وتُستخدم لحساب زاوية مجهولة إذا عُرفت الزاويتان الأخريان.

قانون الزوايا

زاوية₁ + زاوية₂ + زاوية₃ = 180°

★ مثال محلول

في مثلث، قياس زاويتين منه 70° و 50°. أوجد قياس الزاوية الثالثة.

الزاوية الثالثة = 180° − (70° + 50°)
= 180° − 120° = 60°

الزاوية الثالثة = 60° ✔

2. نظرية فيثاغورس مع الرسم

في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر = مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين.

نظرية فيثاغورس

a² + b² = c² (حيث c الوتر)

الثلاثيات الشهيرة	مضاعفاتها
(3, 4, 5)	(6, 8, 10) — (9, 12, 15) — (12, 16, 20)
(5, 12, 13)	(10, 24, 26)
(8, 15, 17)	(16, 30, 34)
(7, 24, 25)	(14, 48, 50)

★ مثال محلول

مثلث قائم الزاوية ضلعاه القائمان 9 و 12. أوجد طول الوتر.

c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
c = √225 = 15
ملاحظة: (9, 12, 15) = 3 × (3, 4, 5) ثلاثية فيثاغورس.

الوتر = 15 ✔

3. أجزاء الدائرة

الدائرة لها عدة أجزاء مهمة يجب التمييز بينها: المركز، نصف القطر، القطر، الوتر، القوس.

★ مثال محلول

دائرة قطرها 14 سم. أوجد نصف قطرها ومحيطها ومساحتها (π = 22/7).

نصف القطر: r = 14 ÷ 2 = 7 سم
المحيط: 2 × (22/7) × 7 = 2 × 22 = 44 سم
المساحة: (22/7) × 7² = (22/7) × 49 = 22 × 7 = 154 سم²

r = 7 ، المحيط = 44 سم ، المساحة = 154 سم² ✔

4. الزوايا المركزية والمحيطية

الزاوية المركزية: رأسها مركز الدائرة. الزاوية المحيطية: رأسها على الدائرة وضلعاها وتران. النظرية الذهبية: الزاوية المركزية = ضعف الزاوية المحيطية المرسومة على نفس القوس.

نظرية الزاوية المحيطية

الزاوية المركزية = 2 × الزاوية المحيطية (على نفس القوس)

★ مثال محلول

زاوية محيطية في دائرة قياسها 35°. ما قياس الزاوية المركزية المرسومة على نفس القوس؟

الزاوية المركزية = 2 × الزاوية المحيطية
= 2 × 35° = 70°

الزاوية المركزية = 70° ✔

5. المضلعات المنتظمة وجمع الزوايا

مجموع الزوايا الداخلية

المجموع = (n − 2) × 180°

كل زاوية في منتظم = (n − 2) × 180° ÷ n

★ مثال محلول

ما مجموع زوايا ثُماني أضلاع (octagon)؟ وما قياس كل زاوية فيه إذا كان منتظماً؟

المجموع = (n − 2) × 180 = (8 − 2) × 180 = 6 × 180 = 1080°
كل زاوية = 1080 ÷ 8 = 135°

المجموع = 1080° ، كل زاوية = 135° ✔

6. الرباعيات: المتوازي والمستطيل والمعين والمربع

★ مثال محلول

معين قطراه 12 سم و 16 سم. أوجد مساحته.

المساحة = ½ × d₁ × d₂
= ½ × 12 × 16 = 6 × 16 = 96 سم²

المساحة = 96 سم² ✔

7. شبه المنحرف

شبه المنحرف رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان فقط (القاعدتان)، وضلعان آخران غير متوازيين (الساقان).

مساحة شبه المنحرف

A = ½ × (b₁ + b₂) × h

★ مثال محلول

شبه منحرف قاعدتاه 6 و 12 وارتفاعه 5. أوجد مساحته.

A = ½ × (b₁ + b₂) × h
= ½ × (6 + 12) × 5
= ½ × 18 × 5 = 9 × 5 = 45 وحدة²

المساحة = 45 وحدة² ✔

8. الأشكال المركبة (Composite Shapes)

الشكل المركب يتكون من دمج شكلين أو أكثر. لحساب مساحته: اقسمه إلى أشكال أبسط، احسب مساحة كل جزء، ثم اجمعها (أو اطرح إذا كان هناك تجويف).

★ مثال محلول

شكل مركب من مستطيل أبعاده 14 × 7، وفوقه نصف دائرة نصف قطرها 7. أوجد مساحته الكلية (π = 22/7).

مساحة المستطيل: 14 × 7 = 98
مساحة نصف الدائرة: ½ × π × r² = ½ × (22/7) × 49
= ½ × 22 × 7 = ½ × 154 = 77
المساحة الكلية: 98 + 77 = 175 وحدة²

المساحة الكلية = 175 وحدة² ✔

الفصل الرابع عشر: مراجعة شاملة بالرسومات

جداول المساحات والمحيطات · القوانين الأساسية · خريطة ذهنية · خط زمني لحل المسألة

14

1. جدول المساحات والمحيطات بالأيقونات

كل شكل هندسي مع أيقونته المرئية لتسهيل الحفظ:

الشكل	المساحة	المحيط
مربع	a²	4a
مستطيل	L × W	2(L+W)
مثلث	½ × b × h	مجموع الأضلاع
دائرة	π × r²	2 × π × r
متوازي أضلاع	b × h	2(a+b)
معين	½ × d₁ × d₂	4 × ضلع
شبه منحرف	½ × (b₁+b₂) × h	مجموع الأضلاع

2. القوانين الأساسية في بطاقات ملوّنة

أهم القوانين مرتبة في بطاقات بصرية سريعة المراجعة:

النسبة المئوية
p% من x = (p÷100) × x

نسبة التغير
(جديد − قديم) ÷ قديم × 100%

المتوسط المرجّح
Σ(قيمة×وزن) ÷ Σ(أوزان)

الاحتمال المعكوس
P(not E) = 1 − P(E)

الحدثان المستقلان
P(A∩B) = P(A) × P(B)

الحدثان المتنافيان
P(A∪B) = P(A) + P(B)

فيثاغورس
a² + b² = c²

مجموع زوايا المثلث
= 180°

مجموع زوايا n-gon
(n−2) × 180°

أقطار المضلع
n(n−3) ÷ 2

الزاوية المحيطية
= ½ × الزاوية المركزية

متوسط سرعة (مسافتان متساويتان)
2v₁v₂ ÷ (v₁+v₂)

3. الخريطة الذهنية للمفاهيم الكمية

خريطة بصرية تربط كل المفاهيم الكمية ببعضها لتسهيل الاسترجاع:

4. خط زمني لترتيب حل المسألة

خمس خطوات منهجية لحل أي مسألة رياضية في الاختبار:

★

نصيحة أغلب الأخطاء في الاختبار تحدث في الخطوة 1 (سوء فهم السؤال) أو الخطوة 5 (نسيان التحقق من وحدة الإجابة أو منطقيتها). خصّص لهاتين الخطوتين وقتاً كافياً.

الفصل الخامس عشر: قواعد ذهبية للحفظ — إنفوجرافيك

15 إنفوجرافيك بصرياً لأهم القواعد الكمية — صُممت لتثبيت القوانين في الذاكرة بالألوان والأشكال

15

★

كيف تستخدم هذا الفصل؟ كل إنفوجرافيك يلخّص قاعدة واحدة بصرياً. اقرأ العنوان، تأمل الرسم، ثم استرجع القاعدة من ذاكرتك قبل النظر إلى النص. كرر ذلك حتى تثبت الصورة في ذهنك.

١ • قاعدة الزوجي والفردي

٢ • ٢ العدد الأولي الزوجي الوحيد

٣ • قواعد القسمة على ٢ و ٣ و ٤ و ٥ و ٦ و ٩ و ١٠

٤ • النسبة المئوية: p% من x = (p÷١٠٠) × x

٥ • نسبة التغير = (جديد − قديم) ÷ قديم × ١٠٠%

٦ • المتتالية الحسابية: aₙ = a₁ + (n−١)d

٧ • المتتالية الهندسية: aₙ = a₁ × r^(n−١)

٨ • زوايا المثلث = ١٨٠°

٩ • فيثاغورس: a² + b² = c² (للمثلث القائم)

١٠ • مساحة الدائرة = π r²

١١ • محيط الدائرة = ٢ π r

١٢ • زوايا المضلع = (n − ٢) × ١٨٠°

١٣ • المتوسط = المجموع ÷ العدد

١٤ • الاحتمال = المواتي ÷ الكلي

١٥ • السرعة × الزمن = المسافة

★

نصيحة الحفظ البصري عند مراجعة هذه الإنفوجرافيكات، حاول أن تتذكر الشكل والألوان قبل القانون. الذاكرة البصرية أقوى بكثير من النصية، فإذا تذكّرت أن «فيثاغورس» مربعات ملونة على أضلاع مثلث قائم، سيتذكّر عقلك تلقائياً a² + b² = c².

الفصل السادس عشر: رسومات هندسية متقدمة — معرض بصري

8 رسومات هندسية كبيرة بإضاءة وظلال — برهان بصري لفيثاغورس والزوايا والمساحات والأقطار

16

★

لماذا هذا المعرض؟ الرسومات الهندسية الكبيرة تُثبّت المفاهيم في الذاكرة المكانية. كل رسم هنا يُجسّد فكرة هندسية مع برهانها البصري، فلا تحتاج لحفظ القانون بعد فهم الصورة.

١ • برهان فيثاغورس البصري — مربعات على أضلاع المثلث القائم

٢ • الزاويتان المتتامتان (٩٠°) والمتكاملتان (١٨٠°)

٣ • الزاويتان المتقابلتان بالرأس — متساويتان

٤ • الزوايا الداخلية المتناوبة — خطان متوازيان وقاطع

٥ • الزاوية المركزية = ٢ × الزاوية المحيطية (على نفس القوس)

٦ • مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع (داخل مستطيل)

٧ • مساحة شبه المنحرف = ½(b₁ + b₂) × h (برهان بدوران نسخة)

٨ • عدد أقطار المضلع = n(n − ٣) ÷ ٢ (خماسي كمثال)

★

خلاصة المعرض الهندسي كل القوانين الهندسية في الاختبار تُشتق من فكرة بسيطة: التقسيم والتركيب. المثلث نصف مستطيل، وشبه المنحاف نصف متوازي أضلاع، والزاوية المحيطية نصف المركزية، وأقطار المضلع تُحسَب مرتين ثم تُقسَّم على ٢. افهم «لماذا» ولا تحفظ «ماذا» فقط.

الأسئلة الخادعة (Tricky Questions)

15 سؤالاً صعباً يكشف الفخاخ الشائعة — مع التحذير والحل الكامل

!

1

إذا كان راتب موظف 5000 ريال، فزاد 20% ثم نقص 20% من الراتب الجديد. ما راتبه النهائي؟

الفخ: يعتقد الكثيرون أن الراتب يعود لـ 5000 ريال. لكن الزيادة والنقص يُطبقان على أساسين مختلفين، فلا يلغي أحدهما الآخر.

الحل:
بعد الزيادة: 5000 × 1.20 = 6000 ريال
بعد النقص: 6000 × 0.80 = 4800 ريال
طريقة سريعة: 5000 × 1.20 × 0.80 = 5000 × 0.96 = 4800 ريال

الراتب النهائي = 4800 ريال

2

أيُّهما أكبر؟ العمود أ: ⅓ ÷ ¼ | العمود ب: ⅓ × ¼

الفخ: يخلط البعض بين قسمة الكسور وضربها، ويعتقد أن القسمة تعطي قيمة أصغر.

العمود أ: ⅓ ÷ ¼ = ⅓ × 4 = 4/3 ≈ 1.33
العمود ب: ⅓ × ¼ = 1/12 ≈ 0.083
4/3 > 1/12 → العمود أ أكبر بكثير

العمود (أ) أكبر ✔

3

حل المتباينة: −2x + 5 > 11

الفخ: نسيان عكس إشارة المتباينة عند القسمة على عدد سالب. كثير يحلها خطأً: x > −3.

−2x > 11 − 5 ⇒ −2x > 6
القسمة على −2 (سالب) تعكس الإشارة:
x < −3

x < −3 ✔

4

هل العدد 1 أولي؟ وماذا عن 0؟

الفخ: يعتقد البعض أن 1 أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على نفسه. لكن شرط الأولية هو وجود قاسمين فقط: 1 ونفسه، والعدد 1 نفسه = نفسه فلا يحقق الشرط.

1 ليس أولياً (له قاسم واحد فقط).
0 ليس أولياً (يقبل القسمة على كل الأعداد).
الأعداد الأولية تبدأ من 2.

كلاهما ليس أولياً ✔

5

متتالية: 2, 6, 12, 20, 30, ... ما الحد السادس؟

الفخ: يعتقد البعض أنها حسابية بالحد المشترك 4، ثم 6... لكن الفرق نفسه يتغير. هي ليست حسابية ولا هندسية عادية.

نلاحظ النمط: 2 = 1×2، 6 = 2×3، 12 = 3×4، 20 = 4×5، 30 = 5×6
الحد النوني = n × (n+1)
الحد السادس = 6 × 7 = 42

الحد السادس = 42 ✔

6

مستودع به 100 كتاب. بيع 25% منها، ثم 20% من الباقي. كم كتاباً تبقى؟

الفخ: جمع النسبتين (25%+20%=45%) والاعتقاد أن 55% تبقى. النسبتان على أساسين مختلفين.

البيع الأول: 100 × 0.25 = 25 كتاباً → الباقي = 75
البيع الثاني: 75 × 0.20 = 15 كتاباً → الباقي = 75 − 15 = 60
طريقة سريعة: 100 × 0.75 × 0.80 = 60

يتبقى 60 كتاباً ✔

7

إذا كانت a و b عددان فرديان، فأي مما يلي يجب أن يكون زوجياً؟

الفخ: يختار البعض a+b، وآخرون يختارون a×b. لكن الحاصل الضربي للفردين فردي، أما الجمع فهو الزوجي.

فردي + فردي = زوجي ✓ (مثال: 3+5=8)
فردي × فردي = فردي ✗ (3×5=15)
a² + b² = فردي + فردي = زوجي ✓
الإجابة: a + b (وكذلك a² + b²، 2a)

a + b (وكل تعبير يجمع فرديين) ✔

8

مثلث أضلاعه 5, 12, 13. أوجد مساحته.

الفخ: يعتقد البعض أنه مثلث قائم ويطبق فيثاغورس (5²+12²=13² صحيح) ثم يستخدم قانون فيثاغورس لحساب المساحة. لكن المساحة تحتاج قاعدة وارتفاع.

بما أنه قائم (5,12,13 ثلاثية فيثاغورس):
القاعدة = 5، الارتفاع = 12 (الضلعان القائمان)
المساحة = ½ × 5 × 12 = 30

المساحة = 30 وحدة² ✔

9

إذا كان x عدد صحيح، و x² > 9، فأي قيم x الممكنة؟

الفخ: يحل البعض x > 3 فقط وينسى الحل السالب.

x² > 9 ⇒ |x| > 3
⇒ x > 3 أو x < −3
الأعداد الصحيحة: {4, 5, 6, ...} ∪ {..., −6, −5, −4}

x > 3 أو x < −3 ✔

10

سائق ذهب بسرعة 60 كم/ساعة وعاد بنفس الطريق بسرعة 60 كم/ساعة. ما متوسط سرعته؟

الفخ: يعتقد البعض أنه 60 لأن السرعتان متساويتان — وهذا صحيح في هذه الحالة، لكن يستخدمون القانون الخطأ 2v₁v₂/(v₁+v₂) ويحسبون 2×60×60/(60+60) = 60 (نفس النتيجة). لكن إن اختلفت السرعتان فلا يصلح المتوسط الحسابي.

بما أن المسافتين متساويتان: متوسط السرعة = 2v₁v₂/(v₁+v₂)
= 2×60×60 / (60+60) = 7200/120 = 60 كم/ساعة
تنبيه: المتوسط الحسابي (60+60)/2 = 60 يعطي نفس النتيجة هنا فقط لأن السرعتين متساويتين.

متوسط السرعة = 60 كم/ساعة ✔

11

أوجد مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى 100.

الفخ: يحاول البعض جمعها واحدة واحدة، أو يستخدمون قانون المتتالية بشكل خاطئ.

هذه متتالية حسابية: a₁=1، a₁₀₀=100، n=100
S₁₀₀ = (n/2)(a₁ + aₙ) = (100/2)(1 + 100) = 50 × 101 = 5050

المجموع = 5050 ✔

12

رمي حجر نرد عادي مرة واحدة. ما احتمال أن يكون الناتج عدداً أولياً؟

الفخ: يعتقد البعض أن الأعداد الأولية على النرد هي {1, 2, 3, 5} فيحسب 4/6. لكن 1 ليس أولياً.

الأعداد الأولية على النرد (1 إلى 6): {2, 3, 5} فقط.
عدد النواتج المواتية = 3
عدد النواتج الكلية = 6
احتمال = 3/6 = 1/2 = 0.5

الاحتمال = 1/2 = 50% ✔

13

في تزاوج Aa × Aa، ما احتمال ظهور الصفة السائدة في النسل؟

الفخ: يعتقد البعض أن الإجابة 1/2 لأن أحد الأبوين هجين، أو يستخدمون كلمة "نسبة" بدل "احتمال".

التركيب الوراثي للنسل: AA : Aa : Aa : aa (نسبة 1:2:1)
الصفة السائدة تظهر بالتركيب AA أو Aa (3 من 4)
احتمال ظهور الصفة السائدة = 3/4 = 75%

احتمال ظهور الصفة السائدة = 3/4 = 75% ✔

14

حل: |x − 3| = −2

الفخ: يحل البعض x − 3 = −2 فيحصل على x = 1، أو x − 3 = 2 فيحصل على x = 5. لكنه نسي أن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة.

القيمة المطلقة دائماً ≥ 0
لا يوجد عدد سالب يساوي قيمة مطلقة
لا يوجد حل (∅)

لا يوجد حل ✔

15

دائرة محيطها 44 سم (باستخدام π = 22/7). أوجد مساحتها.

الفخ: يحسب البعض نصف القطر خطأً، أو يستخدمون قانون المساحة مباشرة دون إيجاد r.

من المحيط: 2πr = 44 ⇒ 2 × (22/7) × r = 44
(44/7) × r = 44 ⇒ r = 44 × 7 ÷ 44 = 7 سم
المساحة = πr² = (22/7) × 7² = (22/7) × 49 = 22 × 7 = 154 سم²

المساحة = 154 سم² ✔

★

الخلاصة من الأسئلة الخادعة أهم الأخطاء الشائعة: (1) عكس إشارة المتباينة، (2) نسيان أن 1 ليس أولياً، (3) جمع النسب المئوية من أسس مختلفة، (4) نسيان حلول سالبة في x² > a، (5) خلط قسمة الكسور بضربها، (6) استخدام متوسط السرعتين بدل المسافة الكلية÷الزمن الكلي. احذر دائماً!

الأسئلة الخادعة — المجموعة الثانية

10 أسئلة إضافية تكشف فخاخ النسب المئوية والنسب والدوال والمقارنات الكمية والمتوسط المرجّح وغيرها

!!

16

راتب زاد 10% ثم زاد 10% مرة أخرى. ما نسبة الزيادة الكلية؟

الفخ: يعتقد الكثيرون أن الزيادة الكلية = 10% + 10% = 20% بجمع النسبتين مباشرة.

الحل: الزيادة الثانية تُطبَّق على الراتب الجديد، لا الأصلي.
لنفرض الراتب الأصلي = 100:
بعد الزيادة الأولى: 100 × 1.10 = 110
بعد الزيادة الثانية: 110 × 1.10 = 121
الزيادة الكلية = 121 − 100 = 21 من أصل 100 = 21%
بصيغة مضروبة: 1.10 × 1.10 = 1.21 = زيادة 21%

الزيادة الكلية = 21% (وليست 20%) ✔

17

قسّم 480 ريالاً على ثلاثة إخوة بنسبة 3 : 2 : 1.

الفخ: بعض الطلاب يقسّم المبلغ على عدد الأشخاص (3) فيحصل على 160 ريال للشخص الواحد، ناسياً أن النسبة تختلف من شخص لآخر.

مجموع أجزاء النسبة: 3 + 2 + 1 = 6 أجزاء
قيمة الجزء الواحد: 480 ÷ 6 = 80 ريال
الأنصبة:
الأول: 3 × 80 = 240 ريال
الثاني: 2 × 80 = 160 ريال
الثالث: 1 × 80 = 80 ريال
التحقق: 240 + 160 + 80 = 480 ✓

الأنصبة: 240 ، 160 ، 80 ريال ✔

18

إذا كانت f(x) = x² − 3x، فأوجد f(−2).

الفخ: يخطئ البعض في إشارة الحد الثاني فيعوّض −3 × −2 = −6 (ناسياً أن سالب × سالب = موجب). أو يحسب (−2)² = −4.

التعويض: f(−2) = (−2)² − 3(−2)
التربيع: (−2)² = 4 (التربيع دائماً موجب)
الضرب الثاني: −3 × −2 = +6 (سالب × سالب = موجب)
الجمع: 4 + 6 = 10

f(−2) = 10 ✔

19

العمود أ: x² | العمود ب: x (بفرض x ≠ 0)

الفخ: يعتقد البعض أن x² دائماً أكبر من x، فيختار (أ) مباشرة دون اختبار قيم متنوعة.

لنجرب قيماً مختلفة:
• x = 2: العمود أ = 4، العمود ب = 2 ⇒ (أ) أكبر
• x = −2: العمود أ = 4، العمود ب = −2 ⇒ (أ) أكبر
• x = ½: العمود أ = ¼، العمود ب = ½ ⇒ (ب) أكبر
بما أن الإجابة تختلف باختلاف قيمة x → لا يمكن التحديد

الإجابة: (د) لا يمكن التحديد ✔

20

طالب حصل على 70 بوزن 4 ساعات، و90 بوزن 1 ساعة. أوجد متوسطه المرجّح.

الفخ: يحسبه البعض كمتوسط حسابي بسيط: (70 + 90) ÷ 2 = 80، متجاهلاً اختلاف الأوزان.

البسط: (70 × 4) + (90 × 1) = 280 + 90 = 370
المقام (مجموع الأوزان): 4 + 1 = 5
المتوسط المرجّح: 370 ÷ 5 = 74
ملاحظة: القيمة 70 ذات الوزن الأكبر (4) تسحب المتوسط نحوها للأسفل، فالناتج أقرب إلى 70 من 90.

المتوسط المرجّح = 74 ✔

21

كم عدد المربعات التامة الموجودة بين العددين 10 و 50 (باستثناء 10 و 50)؟

الفخ: يعدّ البعض جميع المربعات من 1 إلى 49: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 (7 مربعات)، ناسياً أن السؤال يبدأ من بعد 10.

المربعات التامة: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...
الموجودة بين 10 و 50 (باستثناء الطرفين):
16 (= 4²)، 25 (= 5²)، 36 (= 6²)، 49 (= 7²)
عددها = 4

عدد المربعات التامة بين 10 و 50 = 4 ✔

22

هل العدد 0 يقبل القسمة على 5؟

الفخ: يعتقد البعض أن 0 لا يقبل القسمة على أي عدد، خلطاً بينه وبين القسمة على صفر (التي لا تُعرّف).

التمييز:
• قسمة صفر على عدد: 0 ÷ 5 = 0 (باقٍ = 0) ← تُعرّف وتساوي 0
• قسمة عدد على صفر: 5 ÷ 0 = غير معرّف (لا يمكن)
إذن 0 يقبل القسمة على 5 (وعلى أي عدد صحيح غير صفري) لأن باقي القسمة = 0.

نعم، 0 يقبل القسمة على 5 ✔

23

متتالية حسابية حدها الأول 3 وحدّها المشترك 4. ما الحد الخامس؟

الفخ: يستخدم البعض القانون بالشكل الخطأ: aₙ = a₁ + n × d فيحسب a₅ = 3 + 5 × 4 = 23، ناسياً أن القانون يحتوي على (n − 1) لا n (خطأ off-by-one).

القانون الصحيح: aₙ = a₁ + (n − 1) × d
التعويض لـ n = 5:
a₅ = 3 + (5 − 1) × 4
a₅ = 3 + 4 × 4 = 3 + 16 = 19
التحقق بالعدّ: 3, 7, 11, 15, 19 → الحد الخامس = 19 ✓

a₅ = 19 ✔

24

سيارة قطعت 60 كم بسرعة 30 كم/ساعة، ثم عادت 60 كم بسرعة 60 كم/ساعة. ما متوسط سرعتها للرحلة كاملة؟

الفخ: يحسب البعض متوسط السرعتين: (30 + 60) ÷ 2 = 45 كم/ساعة، وهذا خطأ شائع جداً.

متوسط السرعة = المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي
المسافة الكلية: 60 + 60 = 120 كم
زمن الذهاب: 60 ÷ 30 = 2 ساعة
زمن العودة: 60 ÷ 60 = 1 ساعة
الزمن الكلي: 2 + 1 = 3 ساعة
متوسط السرعة: 120 ÷ 3 = 40 كم/ساعة
بقانون الرحلتين المتساويتي المسافة: (2×30×60) ÷ (30+60) = 3600 ÷ 90 = 40 ✓

متوسط السرعة = 40 كم/ساعة (وليس 45) ✔

25

حل المتباينة: −3x > 9.

الفخ: يقسم البعض على −3 وينسى عكس إشارة المتباينة، فيحصل خطأً على x > −3.

القسمة على −3 (سالب) تتطلب عكس إشارة المتباينة:
−3x > 9
÷ (−3) ⇐ عكس الإشارة من > إلى <
x < −3
التحقق: لنأخذ x = −5 (يحقق x < −3): −3 × (−5) = 15 > 9 ✓

x < −3 ✔

★

الخلاصة من المجموعة الثانية أهم الفخاخ الإضافية: (1) جمع النسب المئوية بدل ضرب المعاملات (1.10×1.10=1.21)، (2) قسمة المبلغ على عدد الأشخاص بدل أجزاء النسبة، (3) الخطأ في إشارة سالب×سالب، (4) افتراض أن x² دائماً أكبر من x، (5) استخدام المتوسط الحسابي بدل المرجّح، (6) عدّ المربعات خارج النطاق المطلوب، (7) الخلط بين القسمة على صفر وقسمة صفر، (8) استخدام n بدل (n−1) في المتتالية، (9) متوسط السرعتين بدل المسافة÷الزمن، (10) نسيان عكس إشارة المتباينة. احذر دائماً!

الأسئلة الخادعة — المجموعة الثالثة

15 سؤالاً إضافياً يكشف فخاخ المركّبات والنسب الثلاثية ونطاق الدوال والمتوسط المرجّح والأقطار وغيرها — مع رسومات توضيحية

!!!

26

سعر سلعة زاد 30% ثم نقص 20% من السعر الجديد. ما نسبة التغير الكلية عن السعر الأصلي؟

الفخ: يجمع البعض النسبتين مباشرة: 30% − 20% = 10% زيادة، متجاهلين أن النسبة الثانية تُطبَّق على أساس مختلف.

لنفرض السعر الأصلي = 100:
بعد الزيادة 30%: 100 × 1.30 = 130
بعد النقص 20%: 130 × 0.80 = 104
التغير الكلي: 104 − 100 = 4 من أصل 100 = 4% زيادة
بصيغة مضروبة: 1.30 × 0.80 = 1.04 → زيادة 4%

الزيادة الكلية = 4% (وليست 10%) ✔

27

قسّم 360 ريالاً على ثلاثة إخوة بنسبة 2 : 3 : 4. ما نصيب الأخ الأكبر؟

الفخ: بعض الطلاب يقسم 360 على 3 أقسام متساوية (120 لكل أخ)، ناسياً اختلاف الأنصبة حسب النسبة.

مجموع أجزاء النسبة: 2 + 3 + 4 = 9 أجزاء
قيمة الجزء الواحد: 360 ÷ 9 = 40 ريالاً
نصيب الأكبر (4 أجزاء): 4 × 40 = 160 ريالاً
التحقق: 80 + 120 + 160 = 360 ✓

نصيب الأكبر = 160 ريالاً ✔

28

ما مجال الدالة f(x) = 1 ÷ (x − 3)؟

الفخ: يجيب البعض "كل الأعداد الحقيقية" ناسياً أن المقام لا يجوز أن يساوي صفراً (وهو ما يُسمى فخ المقام).

الشرط: المقام ≠ 0
x − 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3
المجال: كل الأعداد الحقيقية ما عدا 3
بالرموز: ℝ − {3} أو x ∈ ℝ, x ≠ 3

المجال = ℝ − {3} (كل الأعداد ما عدا 3) ✔

29

حل المعادلة: x² = 9.

الفخ: يكتب البعض x = 3 فقط، ناسياً أن للعدد 9 جذرين تربيعيين: الموجب والسالب.

x² = 9 ⇒ x = ±√9
x = 3 أو x = −3
التحقق: (3)² = 9 ✓ و (−3)² = 9 ✓
قاعدة: عند أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، ضع ± قبل الجذر.

x = ±3 (حلّان) ✔

30

طالب حصل على 60 في اختبار وزنه 4، و 100 في اختبار وزنه 1. أوجد متوسطه.

الفخ: يحسبه البعض كمتوسط حسابي بسيط: (60 + 100) ÷ 2 = 80، متجاهلاً اختلاف الأوزان الذي يجعل الاختبار الأول أكثر تأثيراً.

المتوسط المرجّح:
البسط = (60 × 4) + (100 × 1) = 240 + 100 = 340
المقام = 4 + 1 = 5
المتوسط = 340 ÷ 5 = 68
ملاحظة: الدرجة 60 (الأقل) لها وزن أكبر فتسحب المتوسط نحوها.

المتوسط المرجّح = 68 (وليس 80) ✔

31

كم عدد المربعات التامة بين 1 و 100 (شاملين)؟

الفخ: يعدّ البعض المربعات من 1 إلى 81 فيحصل على 9، ناسياً أن 100 نفسها مربع تام (10²).

المربعات التامة: 1², 2², 3², ..., 10²
أي: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
عددها = 10
التحقق: نأخذ الجذر التربيعي للطرف الأكبر: √100 = 10، إذن هناك 10 مربعات تامة من 1² إلى 10².

عدد المربعات = 10 ✔

32

هل 0 يقبل القسمة على 9؟ وماذا عن 1 — هل هو أولي أو مركّب؟

الفخ: يعتقد البعض أن 0 لا يقبل القسمة على أي عدد، خلطاً بينه وبين القسمة على صفر. ويصنّف آخرون العدد 1 خطأً كأولي.

0 ÷ 9: = 0 (وباقي القسمة = 0) ← نعم يقبل القسمة
العدد 1: ليس أولياً (له قاسم واحد فقط) وليس مركّباً (لا يُحلَّل إلى جداء عددين أصغر). هو "الوحدة" (unit) — فئة خاصة.
قاعدة: الأعداد الأولية تبدأ من 2. والأعداد المركّبة تبدأ من 4. أما 1 فلا هذا ولا ذاك.

0 يقبل القسمة على 9 ✓ ، 1 ليس أولياً ولا مركّباً ✔

33

متتالية هندسية حدها الأول 2 وأساسها 3. ما الحد الرابع؟

الفخ: يستخدم البعض القانون الخطأ: aₙ = a₁ × rⁿ فيحسب a₄ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162، ناسياً أن القانون يستخدم (n − 1) في الأس لا n.

القانون الصحيح: aₙ = a₁ × r^(n − 1)
a₄ = 2 × 3^(4 − 1) = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54
التحقق بالعدّ: 2, 6, 18, 54 → الحد الرابع = 54 ✓

a₄ = 54 (وليس 162) ✔

34

سيارة قطعت المسافة نفسها ذهاباً بسرعة 40 كم/ساعة وعودةً بسرعة 60 كم/ساعة. ما متوسط سرعتها للرحلة كاملة؟

الفخ: يحسب البعض المتوسط الحسابي للسرعتين: (40 + 60) ÷ 2 = 50 كم/ساعة، وهذا خطأ شائع جداً في مسائل متوسط السرعة.

للمسافتين المتساويتين نستخدم المتوسط التوافقي:
متوسط السرعة = 2 × v₁ × v₂ ÷ (v₁ + v₂)
= 2 × 40 × 60 ÷ (40 + 60)
= 4800 ÷ 100 = 48 كم/ساعة
بقانون المسافة ÷ الزمن:
لنفرض المسافة = 120 كم لكل اتجاه
الزمن الكلي = (120÷40) + (120÷60) = 3 + 2 = 5 ساعات
المسافة الكلية = 240 كم
متوسط السرعة = 240 ÷ 5 = 48 ✓

متوسط السرعة = 48 كم/ساعة (وليس 50) ✔

35

حل المتباينة: 5 − 2x ≤ 11.

الفخ: يقسم البعض على −2 وينسى عكس إشارة المتباينة، فيحصل خطأً على x ≤ −3.

5 − 2x ≤ 11
−2x ≤ 11 − 5 ⇒ −2x ≤ 6
القسمة على −2 (سالب) تتطلب عكس الإشارة من ≤ إلى ≥:
x ≥ −3
التحقق: x = 0 (يحقق x ≥ −3): 5 − 2(0) = 5 ≤ 11 ✓
التحقق بالمقابل: x = −5 (لا يحقق x ≥ −3): 5 − 2(−5) = 15 ≰ 11 ✓ (المتباينة خاطئة كما هو متوقع)

x ≥ −3 ✔

36

حل المعادلة: |3x − 1| + 5 = 2.

الفخ: يحاول البعض عزل القيمة المطلقة ثم حلها كالمعتاد، ناسياً أن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة.

|3x − 1| + 5 = 2
|3x − 1| = 2 − 5 = −3
لكن |3x − 1| ≥ 0 دائماً، فلا يمكن أن تساوي −3
لا يوجد حل (∅)

لا يوجد حل (∅) ✔

37

في مثلث، قياسا زاويتين داخليتين 50° و 60°. ما قياس الزاوية الخارجية المجاورة للزاوية الثالثة؟

الفخ: يحسبها البعض كـ 180° − (50° + 60°) = 70°، ناسياً أن الزاوية الخارجية تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها (وليس 180° ناقص مجموع الزاويتين).

نظرية الزاوية الخارجية: الزاوية الخارجية في المثلث = مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها
الزاوية الخارجية = 50° + 60° = 110°
تحقق آخر: الزاوية الثالثة الداخلية = 180° − 110° = 70°، وزاويتها الخارجية المتتامة = 180° − 70° = 110° ✓

الزاوية الخارجية = 110° ✔

38

كيس به 5 كرات حمراء، 3 زرقاء، 2 خضراء. سُحبت كرة عشوائياً. ما احتمال ألا تكون حمراء؟

الفخ: يحسبه البعض كـ P(زرقاء) = 3/10، ناسياً أن "لا حمراء" تعني "زرقاء أو خضراء"، فتشمل كلا اللونين.

العدد الكلي: 5 + 3 + 2 = 10 كرات
طريقة 1 (مباشرة): عدد الكرات غير الحمراء = 3 + 2 = 5
P(لا حمراء) = 5/10 = ½
طريقة 2 (المعكوس): P(لا حمراء) = 1 − P(حمراء) = 1 − 5/10 = 5/10 = ½
كلا الطريقتين تعطي ½ = 50%

احتمال ألا تكون حمراء = ½ = 50% ✔

39

مستقيمان متوازيان قُطعا بقاطع. إذا كانت إحدى الزوايا = 70°، فما قياس الزاوية الداخلية للمستقيمين الواقعة في الجهة نفسها من القاطع؟

الفخ: يظن البعض أن الزاويتين الداخليتين في الجهة نفسها متساويتان (كالزاويتين المتماثلتين)، فيجيب 70°، خلطاً بين أنواع الزوايا المتكونة.

الزاويتان الداخليتان في الجهة نفسها من القاطع (نظيرتان داخليتان):
مجموعهما = 180° (وليستا متساويتين)
الزاوية المجهولة = 180° − 70° = 110°
ملاحظة: الزوايا المتساوية مع 70° هي: الزاوية المقابلة بالرأس، الزاوية الموافقة (في الجهة الأخرى من القاطع)، والزاوية البديلة (في الجهة المقابلة من القاطع).

الزاوية المطلوبة = 110° ✔

40

كم عدد الأقطار في مضلع ثماني الأضلاع (octagon)؟

الفخ: يحسبها البعض خطأً كـ n × (n−3) = 8 × 5 = 40 (ناسياً القسمة على 2 لأن كل قطر يُحسَب مرتين)، أو يعتقدون أنها n − 3 = 5 فقط (وهذا عدد الأقطار من رأس واحد، لا الإجمالي).

قانون عدد الأقطار: عدد الأقطار = n × (n − 3) ÷ 2
حيث n عدد الأضلاع، و (n − 3) لأن من كل رأس لا يمكن رسم قطر إلى نفسه ولا إلى الرأسين المجاورين، و÷2 لأن كل قطر يُحسَب مرتين (مرة من كل طرف).
للمثمن (n = 8):
عدد الأقطار = 8 × (8 − 3) ÷ 2 = 8 × 5 ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 قطراً

عدد الأقطار = 20 ✔

★

الخلاصة من المجموعة الثالثة أهم الفخاخ الإضافية: (1) ضرب المعاملات بدل جمع النسب (1.30×0.80=1.04)، (2) النسب ثلاثية الأجزاء، (3) فخ المقام في مجال الدالة، (4) ± في الجذر التربيعي، (5) المتوسط المرجّح للأوزان المختلفة، (6) عدّ المربعات ضمن النطاق الصحيح، (7) العدد 1 ليس أولياً ولا مركّباً + 0 يقبل القسمة، (8) استخدام (n−1) في المتتالية الهندسية، (9) المتوسط التوافقي للسرعتين لا الحسابي، (10) عكس إشارة المتباينة مع السالب، (11) القيمة المطلقة لا تساوي سالباً، (12) الزاوية الخارجية = مجموع البعيدة الداخلية، (13) احتمال المعكوس "لا X"، (14) النظيرتان الداخليتان مجموعهما 180° لا متساويتان، (15) قانون الأقطار n(n−3)/2. احذر دائماً!

الأسئلة الخادعة — المجموعة الرابعة

15 سؤالاً إضافياً يكشف فخاخ النسب المتداخلة والمتتاليات والقطاعات والمضلعات والاحتمال المعكوس والمتوسط المرجّح — مع رسومات هندسية توضيحية

!!!!

41

ما قيمة ٣٠% من ٤٠% من ٥٠٠؟

الفخ: يجمع البعض النسبتين مباشرة: ٣٠% + ٤٠% = ٧٠% من ٥٠٠ = ٣٥٠. هذا خطأ لأن كل نسبة تُطبَّق على أساس مختلف (٤٠% من ٥٠٠ أولًا، ثم ٣٠% من الناتج).

الحل خطوة بخطوة:
الخطوة ١: ٤٠% من ٥٠٠ = ٠٫٤٠ × ٥٠٠ = ٢٠٠
الخطوة ٢: ٣٠% من ٢٠٠ = ٠٫٣٠ × ٢٠٠ = ٦٠
بصيغة مضروبة: ٠٫٣٠ × ٠٫٤٠ × ٥٠٠ = ٠٫١٢ × ٥٠٠ = ٦٠
قاعدة: "أ% من ب% من x" = (أ/١٠٠) × (ب/١٠٠) × x — لا تجمع النسب.

الإجابة = ٦٠ ✔

42

قُسّم ٤٨٠ ريالاً على أربعة أشخاص بنسبة ١ : ٢ : ٣ : ٤. ما نصيب صاحب النصيب الأكبر؟

الفخ: بعض الطلاب يقسم ٤٨٠ على ٤ أقسام متساوية (١٢٠ لكل شخص)، ناسياً اختلاف الأنصبة حسب النسبة. آخرون يحسبون نصيب الأكبر = ٤ × ١٢٠ = ٤٨٠ (يأخذ كل شيء!)، ناسين قسمة النسبة على مجموع أجزائها.

مجموع أجزاء النسبة: ١ + ٢ + ٣ + ٤ = ١٠ أجزاء
قيمة الجزء الواحد: ٤٨٠ ÷ ١٠ = ٤٨ ريالاً
أنصبة الأشخاص:
الأول: ١ × ٤٨ = ٤٨ • الثاني: ٢ × ٤٨ = ٩٦
الثالث: ٣ × ٤٨ = ١٤٤ • الرابع (الأكبر): ٤ × ٤٨ = ١٩٢
التحقق: ٤٨ + ٩٦ + ١٤٤ + ١٩٢ = ٤٨٠ ✓

نصيب الأكبر = ١٩٢ ريالاً ✔

43

إذا كان x = ٥ و y = −٣، أيُّهما أكبر: |x| + |y| أم |x + y|؟

الفخ: يعتقد البعض أن |x| + |y| دائمًا يساوي |x + y|، فيجيب بالتساوي. لكن هذه المساواة لا تتحقق إلا إذا كان x و y بنفس الإشارة.

العمود الأول: |x| + |y| = |٥| + |−٣| = ٥ + ٣ = ٨
العمود الثاني: |x + y| = |٥ + (−٣)| = |٢| = ٢
٨ > ٢ ← العمود الأول أكبر
القاعدة العامة (متباينة المثلث):
|x| + |y| ≥ |x + y|
تكافؤ (تساوي) ⇔ x و y بنفس الإشارة (أو أحدهما صفر)

|x| + |y| = ٨ أكبر من |x + y| = ٢ ✔

44

إذا كان a عددًا فرديًا يُكتب بالصيغة a = ٢k + ١ (k عدد صحيح)، فأوجد صيغة a² وبيّن لماذا تكون فردية.

الفخ: يعتقد البعض أن تربيع العدد الفردي يعطي عددًا زوجيًا (لأن الأس ٢ يرمز للزوجي!). أو يكتفون بالتحقق بمثال (٣² = ٩ فردي) دون برهان عام.

البرهان الجبري:
a = ٢k + ١
a² = (٢k + ١)² = (٢k)² + ٢ × (٢k) × ١ + ١²
a² = ٤k² + ٤k + ١
أخرج العامل ٢ من الحدين الأولين:
a² = ٢(٢k² + ٢k) + ١
لنضع m = ٢k² + ٢k (عدد صحيح)، إذن:
a² = ٢m + ١ ← وهذا هو الصيغة العامة للعدد الفردي
النتيجة: مربع أي عدد فردي هو عدد فردي. ✓
تعميم: مربع الزوجي (٢k)² = ٤k² = ٢(٢k²) = ٢n ← زوجي. فالتربيع يحافظ على الزوجية.

a² = ٤k² + ٤k + ١ = ٢(٢k² + ٢k) + ١ → فردي ✔

45

ما التحليل الأولي للعدد ٣٦٠؟ وكم عدد قواسمه الموجبة؟

الفخ: يحاول البعض عدّ القواسم يدويًا (١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦، ٨، ٩، ١٠، ...) فيخطئ أو ينسى بعضها. والقاعدة الذهبية تُغني عن العدّ اليدوي.

التحليل الأولي:
٣٦٠ ÷ ٢ = ١٨٠
١٨٠ ÷ ٢ = ٩٠
٩٠ ÷ ٢ = ٤٥ (لا يقبل القسمة على ٢ بعد الآن)
٤٥ ÷ ٣ = ١٥
١٥ ÷ ٣ = ٥ (لا يقبل القسمة على ٣ بعد الآن)
٥ ÷ ٥ = ١
إذن ٣٦٠ = ٢³ × ٣² × ٥¹
قانون عدد القواسم: أضف ١ لكل أسّ واضرب النواتج
عدد القواسم = (٣ + ١)(٢ + ١)(١ + ١) = ٤ × ٣ × ٢ = ٢٤ قاسمًا

٣٦٠ = ٢³ × ٣² × ٥¹ • عدد القواسم = ٢٤ ✔

46

ضوء أحمر يومض كل ١٢ ثانية، وأخضر كل ١٥ ثانية، وأزرق كل ٢٠ ثانية. إذا يومضوا معًا الآن، فبعد كم ثانية يومضون معًا مرة أخرى؟

الفخ: يحسبها البعض بالجمع: ١٢ + ١٥ + ٢٠ = ٤٧. أو بالقاسم المشترك الأكبر GCF(١٢, ١٥, ٢٠) = ١. والمطلوب في الحالة «يومضون معًا مرة أخرى» هو المضاعف المشترك الأصغر LCM، لا الجمع ولا GCF.

نُحلِّل كل عدد:
١٢ = ٢² × ٣
١٥ = ٣ × ٥
٢٠ = ٢² × ٥
LCM = نأخذ الأس الأكبر لكل عامل أولي:
LCM = ٢² × ٣ × ٥ = ٤ × ٣ × ٥ = ٦٠
التحقق:
٦٠ ÷ ١٢ = ٥ مرات (الأحمر) ✓
٦٠ ÷ ١٥ = ٤ مرات (الأخضر) ✓
٦٠ ÷ ٢٠ = ٣ مرات (الأزرق) ✓

يومضون معًا مرة أخرى بعد ٦٠ ثانية ✔

47

متتالية حسابية حدها الأول a₁ = ٥ وأساسها d = ٣. ما مجموع أول ١٠ حدود؟

الفخ: يحسبها البعض خطأً: n × a₁ = ١٠ × ٥ = ٥٠، أو n × d × a₁ = ١٠ × ٣ × ٥ = ١٥٠. والصواب يستلزم إيجاد الحد الأخير a₁₀ أولًا ثم تطبيق قانون المجموع.

الخطوة ١ — إيجاد الحد العاشر:
aₙ = a₁ + (n − ١) × d
a₁₀ = ٥ + (١٠ − ١) × ٣ = ٥ + ٢٧ = ٣٢
الخطوة ٢ — قانون المجموع:
Sₙ = (n ÷ ٢) × (a₁ + aₙ)
S₁₀ = (١٠ ÷ ٢) × (٥ + ٣٢) = ٥ × ٣٧ = ١٨٥
قانون بديل: Sₙ = (n ÷ ٢) × [٢a₁ + (n − ١)d] = ٥ × [١٠ + ٢٧] = ٥ × ٣٧ = ١٨٥ ✓

مجموع أول ١٠ حدود = ١٨٥ ✔

48

دائرة نصف قطرها r = ٧، وقطاع فيها زاويته المركزية θ = ٤٥°. ما مساحة القطاع؟ (استخدم π = ٢٢/٧)

الفخ: يحسبها البعض كمساحة الدائرة الكاملة πr² = (٢٢/٧)×٤٩ = ١٥٤ وينسى الضرب في (θ÷٣٦٠). آخرون يخلطون بين قانون القطاع وقانون طول القوس.

قانون مساحة القطاع:
A = (θ ÷ ٣٦٠) × π × r²
التعويض:
A = (٤٥ ÷ ٣٦٠) × (٢٢ ÷ ٧) × ٧²
= (١ ÷ ٨) × (٢٢ ÷ ٧) × ٤٩
= (١ ÷ ٨) × ٢٢ × ٧ (٧ يختصر مع ٤٩)
= ١٥٤ ÷ ٨ = ١٩٫٢٥ وحدة²
ملاحظة: مساحة الدائرة الكاملة = ١٥٤، والقطاع ١/٨ منها ≈ ١٩٫٢٥ ✓

مساحة القطاع = ١٩٫٢٥ وحدة² ✔

49

ما قياس الزاوية الخارجية لمضلع منتظم من ١٢ ضلعًا (اثنا عشري الأضلاع)؟ وما قياس زاويته الداخلية؟

الفخ: يحسب البعض الزاوية الداخلية مباشرة من (n−٢)×١٨٠°/n = ١٥٠° ثم يعتبرها الخارجية. أو يحسب ٣٦٠° ÷ n = ٣٠° ويظن أنها الداخلية. والصواب: الخارجية = ٣٦٠°/n، والداخلية = ١٨٠° − الخارجية.

الزاوية الخارجية لمضلع منتظم:
ز.خ = ٣٦٠° ÷ n = ٣٦٠° ÷ ١٢ = ٣٠°
الزاوية الداخلية (طريقتان):
الطريقة ١: ز.د = ١٨٠° − ز.خ = ١٨٠° − ٣٠° = ١٥٠°
الطريقة ٢: ز.د = (n − ٢) × ١٨٠° ÷ n = (١٠ × ١٨٠°) ÷ ١٢ = ١٨٠٠° ÷ ١٢ = ١٥٠° ✓
قاعدة مفيدة: مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع محدّب = ٣٦٠° (دائمًا).

الخارجية = ٣٠° • الداخلية = ١٥٠° ✔

50

زاوية x، تكميلها (الذي يجمع معها ٩٠°) يساوي ٤x. أوجد x. ثم أوجد قياس الزاوية المكملة لها (الذي يجمع معها ١٨٠°).

الفخ: يخلط البعض بين التكميل (٩٠°) والتكامل (١٨٠°)، فيكتب x + 4x = 180° فيحصل على x = 36° خطأ. كما ينسى البعض إيجاد الزاوية المكملة في النهاية ويكتفي بإيجاد x.

الخطوة ١ — إيجاد x من التكميل:
x + ٤x = ٩٠° (تعريف الزاويتين المتتامتين)
٥x = ٩٠° ⇒ x = ١٨°
الخطوة ٢ — التحقق من التكميل:
تكميل x = ٤ × ١٨° = ٧٢° • ١٨° + ٧٢° = ٩٠° ✓
الخطوة ٣ — إيجاد المكمل:
المكمل = ١٨٠° − x = ١٨٠° − ١٨° = ١٦٢°

x = ١٨° • الزاوية المكملة = ١٦٢° ✔

51

خطّان متوازيان قطعهما قاطع. إذا كانت إحدى الزاويتين الداخليتين على نفس الجهة = ٧٠°، فما قياس الزاوية الأخرى على نفس الجهة؟

الفخ: يخلط البعض بين الزوايا المتناوبة الداخلية (متساويتان) والزوايا الداخلية على نفس الجهة (متكاملتان = ١٨٠°)، فيجيب ٧٠° خطأ. أو يظن أنها مجموعهما ٩٠° (متتامتان) فيجيب ٢٠°.

القاعدة: الزاويتان الداخليتان على نفس الجهة من القاطع (لخطين متوازيين) متكاملتان، أي مجموعهما = ١٨٠°.
الحل:
٧٠° + الزاوية الأخرى = ١٨٠°
الزاوية الأخرى = ١٨٠° − ٧٠° = ١١٠°
مراجعة سريعة لأنواع الزوايا بين المتوازيين والقاطع:
• المتناظبتان: متساويتان
• المتناوبتان الداخليتان: متساويتان
• المتناوبتان الخارجيتتان: متساويتان
• الداخليتان على نفس الجهة: متكاملتان (مجموع ١٨٠°) ✓

الزاوية الأخرى = ١١٠° ✔

52

في دائرة، زاوية مركزية تقابل قوسًا قياسه ٨٠°. ما قياس الزاوية المحيطية التي تقابل نفس القوس؟

الفخ: يعتقد البعض أن الزاوية المحيطية تساوي المركزية (٨٠°)، أو أنها = ٢ × المركزية = ١٦٠°. والصواب عكس ذلك: المحيطية = ½ المركزية.

القاعدة الذهبية:
الزاوية المحيطية = ½ × الزاوية المركزية
(عندما تقابلان نفس القوس)
تطبيق:
الزاوية المركزية = قياس القوس = ٨٠°
الزاوية المحيطية = ٨٠° ÷ ٢ = ٤٠°
التحقق البصري: المركزية «تتوسط» القوس برأسها في المركز، فتراه كاملًا (٨٠°). أما المحيطية فرأسها على الدائرة، فترى نصف القوس فقط (٤٠°).
نتيجة مهمة: كل الزوايا المحيطية التي تقابل نفس القوس متساوية.

الزاوية المحيطية = ٤٠° ✔

53

متوسط درجات طالب في ٥ اختبارات = ٨٢. حصل في أربعة منها على: ٧٠، ٩٥، ٨٠، ٧٥. ما درجته في الاختبار الخامس؟

الفخ: يحسب البعض متوسط الدرجات الأربعة المعطاة (٧٠+٩٥+٨٠+٧٥ = ٣٢٠ ÷ ٤ = ٨٠) ثم يظن أن الخامس = ٨٠ «لأن المتوسط ٨٢». هذا خطأ لأن متوسط الأربعة لا علاقة له بالخامس مباشرةً.

القاعدة: المتوسط = المجموع ÷ العدد ⇒ المجموع = المتوسط × العدد
الخطوة ١ — مجموع الدرجات الخمس:
المجموع الكلي = ٨٢ × ٥ = ٤١٠
الخطوة ٢ — مجموع الدرجات الأربعة المعروفة:
٧٠ + ٩٥ + ٨٠ + ٧٥ = ٣٢٠
الخطوة ٣ — الدرجة الخامسة:
الدرجة الخامسة = ٤١٠ − ٣٢٠ = ٩٠
التحقق: (٧٠ + ٩٥ + ٨٠ + ٧٥ + ٩٠) ÷ ٥ = ٤١٠ ÷ ٥ = ٨٢ ✓

الدرجة الخامسة = ٩٠ ✔

54

رُمي حجر نرد عادل ٣ مرات. ما احتمال ظهور الرقم ٦ مرة واحدة على الأقل؟

الفخ: يجمع البعض الاحتمالات: ١/٦ + ١/٦ + ١/٦ = ٣/٦ = ½. هذا خطأ لأن الأحداث غير متنافية (يمكن ظهور ٦ أكثر من مرة). والجمع يُستخدم فقط للأحداث المتنافية.

القاعدة الذهبية لـ«مرة على الأقل»:
P(مرة على الأقل) = ١ − P(صفر مرة)
الخطوة ١ — احتمال ألا يظهر ٦ في رمية واحدة:
P(ليس ٦) = ٥ ÷ ٦
الخطوة ٢ — احتمال ألا يظهر ٦ في الرميات الثلاث كلها:
P(لا ٦ في ٣ رميات) = (٥ ÷ ٦)³ = ١٢٥ ÷ ٢١٦
الخطوة ٣ — احتمال ظهور ٦ مرة على الأقل:
P(٦ مرة على الأقل) = ١ − (١٢٥ ÷ ٢١٦) = (٢١٦ − ١٢٥) ÷ ٢١٦ = ٩١ ÷ ٢١٦
تقريبًا: ٩١ ÷ ٢١٦ ≈ ٠٫٤٢١ أي ≈ ٤٢٫١٪
ملاحظة: طريقة الجمع المباشر تعطي ٥٠٪ (خطأ)، بينما الصواب ≈ ٤٢٪.

P(٦ على الأقل مرة) = ٩١/٢١٦ ≈ ٠٫٤٢١ ✔

55

قطع سائق رحلة من ٣ أقسام متساوية المسافة، كل منها ٦٠ كم. السرعة في القسم الأول ٣٠ كم/س، والثاني ٦٠ كم/س، والثالث ٢٠ كم/س. ما متوسط السرعة للرحلة كلها؟

الفخ: يحسب البعض المتوسط الحسابي للسرعات: (٣٠ + ٦٠ + ٢٠) ÷ ٣ = ١١٠ ÷ ٣ ≈ ٣٦٫٧ كم/س. هذا خطأ جسيم لأن الأقسام تستغرق أزمانًا مختلفة، فلا يجوز جمع السرعات وقسمتها على عددها.

القاعدة: متوسط السرعة = المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي
الخطوة ١ — زمن كل قسم (t = d ÷ v):
t₁ = ٦٠ ÷ ٣٠ = ٢ ساعة
t₂ = ٦٠ ÷ ٦٠ = ١ ساعة
t₃ = ٦٠ ÷ ٢٠ = ٣ ساعات
الخطوة ٢ — الزمن الكلي:
الزمن الكلي = ٢ + ١ + ٣ = ٦ ساعات
الخطوة ٣ — المسافة الكلية:
المسافة الكلية = ٣ × ٦٠ = ١٨٠ كم
الخطوة ٤ — متوسط السرعة:
متوسط السرعة = ١٨٠ ÷ ٦ = ٣٠ كم/س
قاعدة لثلاثة أقسام متساوية المسافة:
v_avg = ٣ × v₁ × v₂ × v₃ ÷ (v₁v₂ + v₁v₃ + v₂v₃)
= ٣ × ٣٠ × ٦٠ × ٢٠ ÷ (٣٠×٦٠ + ٣٠×٢٠ + ٦٠×٢٠)
= ١٠٨٠٠٠ ÷ ٣٦٠٠ = ٣٠ كم/س ✓

متوسط السرعة = ٣٠ كم/س (وليس ٣٦٫٧) ✔

★

الخلاصة من المجموعة الرابعة أهم الفخاخ الإضافية: (1) النسب المتداخلة تُضرب لا تُجمع، (2) النسب رباعية الأجزاء تحتاج قسمة على مجموع الأجزاء، (3) متباينة المثلث |x|+|y| ≥ |x+y|، (4) برهان فردي² = فردي بالصيغة ٢k+١، (5) عدد القواسم = جداء (الأس+١)، (6) «يومضون معًا» = LCM لا الجمع، (7) مجموع المتتالية الحسابية = (n/2)(a₁+aₙ)، (8) مساحة القطاع = (θ/360)πr²، (9) الزاوية الخارجية = 360°/n والداخلية = 180°−خارجية، (10) التكميل 90° والتكامل 180°، (11) الداخليتان على نفس الجهة متكاملتان، (12) المحيطية = ½ المركزية، (13) المتوسط المرجّح: استخدم المجموع = المتوسط×العدد لإيجاد المفقود، (14) «مرة على الأقل» = 1−P(صفر)، (15) متوسط سرعة = المسافة الكلية÷الزمن الكلي للرحلات متعددة الأقسام. أحسنت! أكملت ٥٥ سؤالًا خادعًا ✔